Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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3	3
4	4	**Lösungsschritte:**
5	5	(% class="abc" %)
6		-1. **Tabellarisches Verfahren (Teil 1).**
	6	+1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
7	7
8		-//Wertetabelle I.//
9		-
	8	+**Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
10	10	(% class="border slim" %)
11	11	|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
12	12	|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}
13	13
14		-//Interpretation.//
15		-Die Funktionswerte sind überall nicht-negativ. Bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} ergibt sich jeweils {{formula}}f(x) = 0{{/formula}}. Zwischen den Nullstellen ist das Vorzeichenverhalten noch unklar.
	13	+**Interpretation:**
	14	+Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
16	16
17		-2. **Tabellarisches Verfahren (Teil 2).**
	16	+2. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
18	18
19		-//Wertetabelle II.//
	18	+**Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
20	20	(% class="border slim" %)
21	21	|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
22	22	|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
23		-|Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}+{{/formula}} |{{formula}}-{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}
24	24
25		-//Interpretation.//
26		-i) Wir kennen nun nicht nur die beiden Nullstellen {{formula}}x=\pm 1{{/formula}}, sondern wissen auch, dass es in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} noch jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}} gibt, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
27		-ii) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} (vom Grad 4) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu 4 reelle Nullstellen. Also sind alle Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}} einfach mit {{formula}}-2<x_1<-1,5{{/formula}}, {{formula}}x_2=-1{{/formula}}, {{formula}}x_3=+1{{/formula}} und {{formula}}+1,5<x_4<2{{/formula}}.
28		-iii) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
	23	+**Interpretation:**
	24	+i) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} kleiner -2, für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1 und +1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} größer +2.
	25	+ii) Entsprechend gilt {{formula}}f(x)<0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1,5 und -1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen +1 und +1,5.
	26	+iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
29	29
30	30	3. **Graphische Skizze:**
31	31
32	32	i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
33		-ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn das Globalverhalten von {{formula}}f{{/formula}} ist das Globalverhalten der Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
34		-iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse bei {{formula}}x_1{{/formula}} zwischen -2 und -1,5 (mit VZW +/-), bei {{formula}}x_2=-1{{/formula}} (mit VZW -/+), bei {{formula}}x_3=+1{{/formula}} (mit VZW +/-) und bei {{formula}}x_4{{/formula}} zwischen +1,5 und +2 (mit VZW -/+).
35		-iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
	31	+ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn die Vergleichsfunktion von {{formula}}f{{/formula}} ist die Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
	32	+iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse zwischen -2 und -1,5 (VZW +/-), bei {{formula}}x=-1{{/formula}} (VZW -/+), bei {{formula}}x=+1{{/formula}} (VZW +/-) und zwischen +1,5 und +2 (VZW -/+).
	33	+iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} zunächst bis zur ersten Nullstelle (zwischen -2 und -1,5 gelegen), weiter zwischen den Nullstellen -1 und +1 und zuletzt ab der vierten Nullstelle (zwischen +1,5 und +2 gelegen).
36	36
37	37	4. **Rechnerisches Verfahren:**
38	38
39	39	i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
40		-ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}x_1=-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}x_2=-1{{/formula}}, {{formula}}x_3=+1{{/formula}}, {{formula}}x_4=+\sqrt{3}{{/formula}}
41		-iii) //Vorzeichenanalyse.//
	38	+ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
	39	+iii) //Vorzeichenanalyse://
42	42	iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
43		-iii.2) Testwertverfahren: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
	41	+iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
44	44
45		-(% class="border slim" %)
46		-| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}}
47		-| {{formula}}x < x_1{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
48		-| {{formula}}x_1 < x < x_2{{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}-{{/formula}}
49		-| {{formula}}x_2 < x < x_3{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
50		-| {{formula}}x_3 < x < x_4{{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}-{{/formula}}
51		-| {{formula}}x > x_4{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
	43	+| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
	44	+| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	45	+| {{formula}}]-\sqrt{3}; -1[{{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	46	+| {{formula}}]-1;\ 1[{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	47	+| {{formula}}]1;\ \sqrt{3}[{{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	48	+| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
52	52
53		-//Gesuchte Lösung.//
54		-Die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für alle {{formula}}x{{/formula}} in:
	50	+iv) //Gesuchte Lösung://
	51	+Es ist {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt für alle {{formula}}x\in \mathbb{L}\quad =\quad ]-\infty; -\sqrt{3}[ \quad\cup\quad ]-1; +1[ \quad\cup\quad ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
55	55
56		-//Lösungsmenge.//
57		-{{formula}}\mathbb{L} = {{/formula}} Vereinigung der folgenden offenen Intervalle:
58		-i) „kleiner als die kleinste Nullstelle“: {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
59		-ii) „zwischen –1 und 1“: {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
60		-iii) „größer als die größte Nullstelle“: {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
61		-
62		-→ Formal:
63		-{{formula}}\mathbb{L} = ]-\infty,\ -\sqrt{3}[ \cup ]-1,\ 1[ \cup ]\sqrt{3},\ \infty[{{/formula}}
64		-
65		-**Anmerkung: Vergleich der Verfahren**
66		-
67		-- Das **tabellarische Verfahren** bietet erste Einsichten: Es erlaubt, Vorzeichen zu erkunden und funktionale Zusammenhänge aufzubauen. Es bleibt jedoch punktuell und qualitativ.
68		-- Das **graphische Verfahren** macht strukturelle Eigenschaften sichtbar: Symmetrie, Nullstellen, Anstiegsverhalten. Es visualisiert den Lösungsbereich und unterstützt Begriffsbildung.
69		-- Das **rechnerische Verfahren** führt zur exakten Lösung: Es erlaubt die genaue Bestimmung aller Nullstellen und den präzisen Aufbau der Lösungsmenge. Dafür sind algebraische Fähigkeiten nötig.
70		-
71		-*Didaktisch ergänzen sich die Verfahren:*
72		-Sie bilden eine sinnvolle Progression – von konkreten Werten (Tabelle) über strukturierte Bilder (Graph) bis zur abstrakten Ableitung (Rechnung). Ihr Zusammenspiel fördert nachhaltiges Konzeptverständnis.
	53	+**Anmerkung:**
	54	+- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
	55	+- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
	56	+- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.