Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -3,88 +3,54 @@
3	3
4	4	**Lösungsschritte:**
5	5	(% class="abc" %)
6		-1. (((//Tabellarisches Verfahren.//
	6	+1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
7	7
8		-1. **Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
	8	+**Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
9	9	(% class="border slim" %)
10		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
11		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|
	10	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
	11	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}
12	12
13	13	**Interpretation:**
14	14	Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
15	15
16		-1. **Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
	16	+2. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
	17	+
	18	+**Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
17	17	(% class="border slim" %)
18		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|
19		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}|{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}|
	20	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
	21	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
20	20
21	21	**Interpretation:**
22		-Nun zeigt sich: In den Intervallen {{formula}}(-\sqrt{3},\ -1){{/formula}} und {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} ist {{formula}}f(x) < 0{{/formula}}. Dazwischen sowie außerhalb dieser Bereiche nimmt {{formula}}f(x) positive Werte an. Das deutet auf **vier Nullstellen** und drei Intervallbereiche für das Vorzeichenverhalten hin.
	24	+i) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} kleiner -2, für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1 und +1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} größer +2.
	25	+ii) Entsprechend gilt {{formula}}f(x)<0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1,5 und -1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen +1 und +1,5.
	26	+iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
23	23
24		-)))
25		----
26		-
27	27	3. **Graphische Skizze:**
28	28
29		-Die Funktion ist **geraden Grades** (4) mit **positivem Leitkoeffizienten** (1). Daraus folgt:
30		-- {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
31		-- Die Funktion ist **achsensymmetrisch**, da alle Potenzen gerade sind.
32		-- Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
	30	+i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
	31	+ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn die Vergleichsfunktion von {{formula}}f{{/formula}} ist die Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
	32	+iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse zwischen -2 und -1,5 (VZW +/-), bei {{formula}}x=-1{{/formula}} (VZW -/+), bei {{formula}}x=+1{{/formula}} (VZW +/-) und zwischen +1,5 und +2 (VZW -/+).
	33	+iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} zunächst bis zur ersten Nullstelle (zwischen -2 und -1,5 gelegen), weiter zwischen den Nullstellen -1 und +1 und zuletzt ab der vierten Nullstelle (zwischen +1,5 und +2 gelegen).
33	33
34		-**Lage zur x-Achse:**
35		-- Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
36		-- Graph liegt **oberhalb der x-Achse** für:
37		- - {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
38		- - {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
39		- - {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
40		-
41		----
42		-
43	43	4. **Rechnerisches Verfahren:**
44	44
45		-Faktorisieren:
	37	+i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
	38	+ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
	39	+iii) //Vorzeichenanalyse://
	40	+iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
	41	+iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
46	46
47		-{{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
48		-
49		-**Nullstellen:**
50		-
51		-{{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
52		-
53		-**Vorzeichenanalyse:**
54		-
55	55	| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
56		-|----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
57		-| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
58		-| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
59		-| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
60		-| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
61		-| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	44	+| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	45	+| {{formula}}]-\sqrt{3}; -1[{{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	46	+| {{formula}}]-1;\ 1[{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	47	+| {{formula}}]1;\ \sqrt{3}[{{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	48	+| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
62	62
63		-**Gesuchte Lösung:**
64		-{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
	50	+iv) //Gesuchte Lösung://
	51	+Es ist {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt für alle {{formula}}x\in \mathbb{L}\quad =\quad ]-\infty; -\sqrt{3}[ \quad\cup\quad ]-1; +1[ \quad\cup\quad ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
65	65
66		-**L** = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
67		-
68		----
69		-
70		-5. **Vergleich der Verfahren:**
71		-
72		-- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
73		-- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
74		-- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
75		-
76		-**Didaktisch:**
77		-Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
78		-Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
79		-
80		-{{/loesung}}
81		-
82		----
83		-
84		-**Zusammenfassung:**
	53	+**Anmerkung:**
85	85	- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
86	86	- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
87	87	- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
88		-
89		-{{/loesung}}
90		-