Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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1	1	**Aufgabenstellung:**
2		-Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
	2	+Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} gilt: Verwende zur Lösung die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung von Polynomungleichungen.
3	3
4	4	**Lösungsschritte:**
	5	+
5	5	(% class="abc" %)
6		-1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
7	7
8		-**Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
9		-(% class="border slim" %)
10		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
11		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|
	8	+1. **Tabellarisches Verfahren:**
12	12
13		-**Interpretation:**
14		-Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
	10	+Wir berechnen Funktionswerte für ausgewählte ganzzahlige {{formula}}x{{/formula}}-Werte:
15	15
16		-2. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
17		-
18		-**Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
19	19	(% class="border slim" %)
20		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|
21		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}<0{{/formula}}|{{formula}}>0{{/formula}}|{{formula}}>0{{/formula}}|{{formula}}<0{{/formula}}|
	13	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-3{{/formula}}|{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}5{{/formula}}|
	14	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}11{{/formula}}|{{formula}}12{{/formula}}|{{formula}}6{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}20{{/formula}}|{{formula}}52{{/formula}}|
22	22
23		-**Interpretation:**
24		-Nun zeigt sich:
25		-(i) Für diejenigen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x<-2{{/formula}}, {{formula}}-1<x<+1[{{/formula}} und {{formula}}+2<x{{/formula}} gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}}.
26		-(ii) Für diejenigen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}-1,5<x<-1{{/formula}}, {{formula}}+1<x<+1,5[{{/formula}} gilt {{formula}}f(x)<{{/formula}}.
27		-(iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn für beide Intervalle gilt: An den Rändern hat {{formula}}f(x){{\formula}} unterschiedliche Vorzeichen.
	16	+An der Tabelle erkennen wir:
	17	+- Bei {{formula}}x = -3{{/formula}} liegt eine Nullstelle vor.
	18	+- Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
	19	+- Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
	20	+- Zwischen {{formula}}x = 1{{/formula}} und {{formula}}x = 2{{/formula}} liegt eine weitere Nullstelle.
	21	+→ Es gibt mehrere Nullstellen, was auf eine Faktorisierungsmöglichkeit hindeutet.
28	28
29		-3. **Graphische Skizze:**
	23	+---
30	30
31		-Die Funktion ist **geraden Grades** (4) mit **positivem Leitkoeffizienten** (1). Daraus folgt:
32		-- {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
33		-- Die Funktion ist **achsensymmetrisch**, da alle Potenzen gerade sind.
34		-- Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
	25	+2. **Graphisches Verfahren:**
35	35
36		-**Lage zur x-Achse:**
37		-- Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
38		-- Graph liegt **oberhalb der x-Achse** für:
39		- - {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
40		- - {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
41		- - {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
	27	+Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist ein Polynom 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten. Der Graph verläuft daher typischerweise von links unten nach rechts oben.
	28	+Die Tabelle zeigt, dass der Graph:
	29	+- {{formula}}f(-3) = 0{{/formula}}, also eine Nullstelle bei {{formula}}x = -3{{/formula}},
	30	+- positiv wird bei {{formula}}x = -2{{/formula}} und darüber hinaus,
	31	+- erneut {{formula}}f(2) = 0{{/formula}}, sowie {{formula}}f(3) = 0{{/formula}}.
42	42
	33	+→ Die Skizze des Graphen zeigt drei Nullstellen; die Funktion verläuft unterhalb der x-Achse nur zwischen zwei Nullstellen (s. rechnerisch).
	34	+
43	43	---
44	44
45		-4. **Rechnerisches Verfahren:**
	37	+3. **Rechnerisches Verfahren:**
46	46
47		-Faktorisieren:
	39	+Gegeben:
48	48
49		-{{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
	41	+{{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}
50	50
51		-**Nullstellen:**
	43	+Wir suchen Nullstellen durch Raten und Polynomdivision. Probieren wir {{formula}}x = 2{{/formula}}:
52	52
53		-{{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
	45	+{{formula}}f(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0{{/formula}} → Nullstelle gefunden.
54	54
55		-**Vorzeichenanalyse:**
	47	+Polynomdivision von {{formula}}f(x){{/formula}} durch {{formula}}x - 2{{/formula}} ergibt:
56	56
57		-| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
58		-|----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
59		-| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
60		-| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
61		-| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
62		-| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
63		-| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	49	+{{formula}}f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6){{/formula}}
64	64
65		-**Gesuchte Lösung:**
66		-{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
	51	+Nun faktorisieren wir das Quadrat:
67	67
68		-**L** = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
	53	+{{formula}}x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2){{/formula}}
69	69
70		----
	55	+→ Die vollständige Faktorisierung lautet:
71	71
72		-5. **Vergleich der Verfahren:**
	57	+{{formula}}f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 2){{/formula}}
73	73
74		-- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
75		-- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
76		-- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
	59	+**Nullstellen:**
	60	+{{formula}}x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3{{/formula}}
77	77
78		-**Didaktisch:**
79		-Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
80		-Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
	62	+Nun analysieren wir das Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} in den Intervallen:
81	81
82		-{{/loesung}}
	64	+| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
	65	+|----------------------|--------------|---------------------------------------------|
	66	+| {{formula}}x < -2{{/formula}} | {{formula}}x = -3{{/formula}} | {{formula}}f(-3) = 0 \Rightarrow \text{neg.} |
	67	+| {{formula}}-2 < x < 2{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(0) = 12 > 0{{/formula}} |
	68	+| {{formula}}2 < x < 3{{/formula}} | {{formula}}x = 2.5{{/formula}}| {{formula}}f(2.5) < 0{{/formula}} (direkt berechnet) |
	69	+| {{formula}}x > 3{{/formula}} | {{formula}}x = 4{{/formula}} | {{formula}}f(4) = 20 > 0{{/formula}} |
83	83
	71	+**Gesucht war:**
	72	+{{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} → also alle x-Werte, bei denen der Funktionswert kleiner oder gleich null ist.
	73	+
	74	+Daraus ergibt sich:
	75	+
	76	+**Lösungsmenge:**
	77	+**L** = {{formula}}[-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}}
	78	+
84	84	---
85	85
86	86	**Zusammenfassung:**