Lösung Anwendung drei Verfahren

Die drei Verfahren: tabellarisch, graphisch, rechnerisch

1. \textbf{Tabellarisch:} Erstellen wir eine Wertetabelle für ganzzahlige Werte von x zwischen –3 und 5:

x	f
-
–3	–66
–2	–38
–1	–18
0	12
1	6
2	–4
3	0
4	4
5	2

Einerseits gilt ; andererseits zeigen sich zwei Vorzeichenwechsel: Für  zwischen –1 und 0 wird  positiv, für  zwischen 1 und 2 wird  negativ.
Das deutet auf drei Nullstellen und zwei Teilbereiche mit  hin.

1. \textbf{Graphisch:}
   
   Die Funktion ist ein Polynom dritten Grades mit positivem Leitkoeffizienten, d.h. sie fällt im linken Randbereich, erreicht ein lokales Minimum, steigt wieder an. Der Graph schneidet die x-Achse dreimal. Die Bereiche unterhalb der x-Achse lassen sich am Graphen ablesen und entsprechen den Abschnitten zwischen zwei Nullstellen. Visuell ergibt sich eine Lösungsmenge in zwei Intervallen.

1. \textbf{Rechnerisch:}
   
   Wir bestimmen die Nullstellen durch Faktorisierung:

Zunächst findet man durch Probieren (z. B. mit dem Horner-Schema) eine Nullstelle bei 

Polynomdivision von f durch x – 2 ergibt:

Nullstellen: 

Die Funktion ist als Produkt von drei Linearfaktoren geschrieben. Da der Leitkoeffizient positiv ist, ergibt sich folgender Vorzeichenverlauf (von links nach rechts, d.h. auf der x-Achse betrachtet):

Intervall	Vorzeichen von f
-	-
x < –2	positiv
–2 < x < 2	negativ
2 < x < 3	negativ
x > 3	positiv

Daraus folgt:

Lösungsmenge:

(da die Ungleichung f \le 0 lautet, gehören die Nullstellen zur Lösung dazu).

Zusammenfassung:

Das tabellarische Verfahren ermöglicht einen ersten Eindruck der Vorzeichenwechsel und motiviert die Erwartung dreier Nullstellen. Die graphische Lösung verdeutlicht das Verhalten des Graphen und visualisiert die gesuchte Lösungsmenge. Die rechnerische Lösung liefert schließlich eine exakte Beschreibung der Intervallstruktur.