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Lösung Anwendung drei Verfahren

Version 13.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 23:56

Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x) = x^4 - 4x^2 + 3. Untersuche, für welche Werte von x die Ungleichung f(x) > 0 erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:

Lösungsschritte:

  1. Tabellarisches Verfahren (Teil 1).

Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):

x      -2-1012
f(x)   3 0 30 3

Interpretation:
Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei x = \pm 1 wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.

2. Tabellarisches Verfahren (Teil 2).

Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):

x      -2-1{,}5-1-0{,}500{,}511{,}52
f(x)   3 -0,...0 +2,...3+2,...0 -0,...3

Interpretation:
i) Also gilt f(x)>0 für alle x kleiner -2, für alle x zwischen -1 und +1 und für alle x größer +2.
ii) Entsprechend gilt f(x)<0 für alle x zwischen -1,5 und -1 und für alle x zwischen +1 und +1,5.
iii) Hingegen liegt in den Intervallen ]-2; -1,5[ und ]+1,5; +2[ jeweils mindestens eine Nullstelle von f, denn für beide Intervalle gilt: An den Rändern hat f(x){{\formula}} unterschiedliche Vorzeichen. 3. **Graphische Skizze:** Die Funktion ist **geraden Grades** (4) mit **positivem Leitkoeffizienten** (1). Daraus folgt: - {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}} - Die Funktion ist **achsensymmetrisch**, da alle Potenzen gerade sind. - Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird. **Lage zur x-Achse:** - Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}} - Graph liegt **oberhalb der x-Achse** für: - {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} - {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}} - {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} --- 4. **Rechnerisches Verfahren:** Faktorisieren: {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}} **Nullstellen:** {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}} **Vorzeichenanalyse:** | Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} | |----------------------------------|----------|---------------------------------------------| | {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} | | {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} | | {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} | | {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} | | {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} | **Gesuchte Lösung:** {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für **L** = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}} --- 5. **Vergleich der Verfahren:** - Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen. - Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig. - Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus. **Didaktisch:** Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression: Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen. {{/loesung}} --- **Zusammenfassung:** - Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe. - Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen. - Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge. {{/loesung}}