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Lösung Anwendung drei Verfahren

Version 18.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/07 00:27

Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x) = x^4 - 4x^2 + 3. Untersuche, für welche Werte von x die Ungleichung f(x) > 0 erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:

Lösungsschritte:

  1. Tabellarisches Verfahren (Teil 1).

Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):

x      -2-1012
f(x)   3 0 30 3

Interpretation:
Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei x = \pm 1 wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.

2. Tabellarisches Verfahren (Teil 2).

Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):

x      -2-1{,}5-1-0{,}500{,}511{,}52
f(x)   3 -0,...0 +2,...3+2,...0 -0,...3

Interpretation:
i) Also gilt f(x)>0 für alle x kleiner -2, für alle x zwischen -1 und +1 und für alle x größer +2.
ii) Entsprechend gilt f(x)<0 für alle x zwischen -1,5 und -1 und für alle x zwischen +1 und +1,5.
iii) Hingegen liegt in den Intervallen ]-2; -1,5[ und ]+1,5; +2[ jeweils mindestens eine Nullstelle von f, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.

3. Graphische Skizze:

i) Der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse, denn f ist gerade, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion f auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
ii) Der Graph von f kommt von links oben und geht nach rechts oben, denn die Vergleichsfunktion von f ist die Potenzfunktion g mit g(x)=x^4.
iii) Der Graph von f schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse zwischen -2 und -1,5 (VZW +/-), bei x=-1 (VZW -/+), bei x=+1 (VZW +/-) und zwischen +1,5 und +2 (VZW -/+).
iv) Also gilt f(x)>0 zunächst bis zur ersten Nullstelle (zwischen -2 und -1,5 gelegen), weiter zwischen den Nullstellen -1 und +1 und zuletzt ab der vierten Nullstelle (zwischen +1,5 und +2 gelegen).

4. Rechnerisches Verfahren:

i) Faktorisieren (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3})
ii) Nullstellen (jeweils 1-fach): -\sqrt{3}, -1, +1, +\sqrt{3}
iii) Vorzeichenanalyse://
iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine Teststelle und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.

 Intervall                          Testwert  Vorzeichen von f(x) 
-
 x < -\sqrt{3}         x = -2  f(x) = 3 > 0 
 (-\sqrt{3}, -1)      x = -1{,}5  f(x) = -0{,}9375 < 0 
 (-1,\ 1)             x = 0  f(x) = 3 > 0 
 (1,\ \sqrt{3})       x = 1{,}5  f(x) = -0{,}9375 < 0 
 x > \sqrt{3}         x = 2  f(x) = 3 > 0 

iv) Gesuchte Lösung:
Es ist f(x) > 0 erfüllt für alle x\in \mathbb{L}=]-\infty; -\sqrt{3}[ \cup ]-1; +1[ \cup ]\sqrt{3}; +\infty[

5. Vergleich der Verfahren:

- Das tabellarische Verfahren gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
- Das graphische Verfahren bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
- Das rechnerische Verfahren liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.

Didaktisch:  
Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:  
Vom konkreten Probieren (Tabelle) über das visuelle Erfassen (Graph) hin zum symbolischen Durchdringen (Rechnung). Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.

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Zusammenfassung:  
- Das tabellarische Verfahren zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
- Das graphische Verfahren unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
- Das rechnerische Verfahren liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.

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