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Lösung Anwendung drei Verfahren

Version 31.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/07 01:35

Aufgabenstellung:
Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x) = x^4 - 4x^2 + 3. Untersuche, für welche Werte von x die Ungleichung f(x) > 0 erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:

Lösungsschritte:

  1. Tabellarisches Verfahren (Teil 1).

Wertetabelle I.

x      -2-1012
f(x)   3 0 30 3

Interpretation.
Die Funktionswerte sind überall nicht-negativ. Bei x = \pm 1 ergibt sich jeweils f(x) = 0. Zwischen den Nullstellen ist das Vorzeichenverhalten noch unklar.

2. Tabellarisches Verfahren (Teil 2).

Wertetabelle II.

x      -2-1{,}5-1-0{,}500{,}511{,}52
f(x)   3 -0,...0 +2,...3+2,...0 -0,...3

Interpretation.
i) Wir kennen nun nicht nur die beiden Nullstellen x=\pm 1, sondern wissen auch, dass es in den Intervallen ]-2; -1,5[ und ]+1,5; +2[ noch jeweils mindestens eine Nullstelle von f gibt, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
ii) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion f (vom Grad 4) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu 4 reelle Nullstellen. Also sind alle Nullstellen von f einfach mit -2<x_1<-1,5, x_2=-1, x_3=+1 und +1,5<x_4<2.
iii) Also gilt f(x)>0 für alle x<x_1, für alle x_2<x<x_3 und für alle x>x_4.

3. Graphische Skizze:

i) Der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse, denn f ist gerade, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion f auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
ii) Der Graph von f kommt von links oben und geht nach rechts oben, denn die Vergleichsfunktion von f ist die Potenzfunktion g mit g(x)=x^4.
iii) Der Graph von f schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse bei x_1 zwischen -2 und -1,5 (mit VZW +/-), bei x_2=-1 (mit VZW -/+), bei x_3=+1 (mit VZW +/-) und bei x_4 zwischen +1,5 und +2 (mit VZW -/+).
iv) Also gilt f(x)>0 für alle x<x_1, für alle x_2<x<x_3 und für alle x>x_4.

4. Rechnerisches Verfahren:

i) Faktorisieren (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3})
ii) Nullstellen (jeweils 1-fach): -\sqrt{3}, -1, +1, +\sqrt{3}
iii) Vorzeichenanalyse.
iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine Teststelle und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.

 Intervall                          Testwert  Vorzeichen von f(x) 
 x < -\sqrt{3}         x = -2  f(x) > 0 
 ]-\sqrt{3}; -1[      x = -1{,}5  f(x) < 0 
 ]-1;\ 1[             x = 0  f(x) > 0 
 ]1;\ \sqrt{3}[       x = 1{,}5  f(x) < 0 
 x > \sqrt{3}         x = 2  f(x) > 0 

iv) Gesuchte Lösung:
Es ist f(x) > 0 erfüllt für alle x\in \mathbb{L}\quad =\quad ]-\infty; -\sqrt{3}[ \quad\cup\quad ]-1; +1[ \quad\cup\quad ]\sqrt{3}; +\infty[

Anmerkung:
- Das tabellarische Verfahren zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
- Das graphische Verfahren unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
- Das rechnerische Verfahren liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.