Lösung Quadratische Ungleichung 2

Wir suchen das Intervall, in dem die Funktion \(f(x)=3x^2+12x+9\) unterhalb der x-Achse verläuft. Das heißt, wir wollen die Ungleichung \(3x^2+12x+9<0\) lösen.

Diese können wir entweder graphisch oder algebraisch lösen.

Graphisch:
Wir zeichnen das Schaubild der Funktion \(y=3x^2+12x+9\) indem wir die Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform umformen zu \(y=3(x+2)^2-3\).

Man sieht, dass die Ungleichung im Intervall \(]-3,-1[\) erfüllt ist, da in dem Bereich die Funktionswerte unterhalb der x-Achse liegen.

Algebraisch:
Wir bestimmen die Nullstellen der Funktion:
\(3x^2+12x+9=0 \quad \mid :3\)
\(x^2+4x+3=0\)
Mitternachtsformel (abc-Formel):
\(\begin{align*} x_{1,2}&=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot 1} \\ &=\frac{-4\pm \sqrt{4}}{2} \\ &=\frac{-4\pm 2}{2} \end{align*}\)
\(\Rightarrow x_1 =\frac{-4-2}{2}=-3; \ x_2 =\frac{-4+2}{2}=-1\)
Nun setzen wir einen beliebigen Wert innerhalb des Intervalles \(]-3,-1[\) in die Funktionsgleichung ein (z.B. \(x=-2\)):
\(f(-2)=3\cdot (-2)^2+12\cdot (-2)+9=-3<0\).
Da wir einen negativen Wert erhalten, können wir schlussfolgern, dass im Intervall \(]-3,-1[\) die Funktionswerte negativ sind, d.h. unterhalb der x-Achse verlaufen (alternativ hätten wir dies auch mit Hilfe einer Skizze feststellen können).

Umformen der anfänglichen Ungleichung ergibt:
\(\begin{align*} 3x^2+12x+9 &<0 \quad \mid \cdot (-1) \\ -(3x^2+12x+9)&>0 \end{align*}\)

Das heißt die Ungleichung \(-(3x^2+12x+9)>0\) spiegelt den Sachverhalt wider.