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Zuletzt geändert von akukin am 2025/09/03 16:46
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1 Wir suchen das Intervall, in dem die Funktion {{formula}}f(x)=3x^2+12x+9{{/formula}} unterhalb der x-Achse verläuft. Das heißt, wir wollen die Ungleichung {{formula}}3x^2+12x+9<0{{/formula}} lösen.
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3 Diese können wir entweder graphisch oder algebraisch lösen.
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5 __Graphisch__:
6 Wir zeichnen das Schaubild der Funktion {{formula}}y=3x^2+12x+9{{/formula}} indem wir die Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform umformen zu {{formula}}y=3(x+2)^2-3{{/formula}}.
7 [[image:schaubild.png||width="350"]]
8 Man sieht, dass die Ungleichung im Intervall {{formula}}]-3,-1[{{/formula}} erfüllt ist, da in dem Bereich die Funktionswerte unterhalb der x-Achse liegen.
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10 __Algebraisch__:
11 Wir bestimmen die Nullstellen der Funktion:
12 {{formula}}3x^2+12x+9=0 \quad \mid :3{{/formula}}
13 {{formula}}x^2+4x+3=0{{/formula}}
14 Mitternachtsformel (abc-Formel):
15 {{formula}}
16 \begin{align*}
17 x_{1,2}&=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot 1} \\
18 &=\frac{-4\pm \sqrt{4}}{2} \\
19 &=\frac{-4\pm 2}{2}
20 \end{align*}
21 {{/formula}}
22 {{formula}}\Rightarrow x_1 =\frac{-4-2}{2}=-3; \ x_2 =\frac{-4+2}{2}=-1{{/formula}}
23 Nun setzen wir einen beliebigen Wert innerhalb des Intervalles {{formula}}]-3,-1[{{/formula}} in die Funktionsgleichung ein (z.B. {{formula}}x=-2{{/formula}}):
24 {{formula}}f(-2)=3\cdot (-2)^2+12\cdot (-2)+9=-3<0{{/formula}}.
25 Da wir einen negativen Wert erhalten, können wir schlussfolgern, dass im Intervall {{formula}}]-3,-1[{{/formula}} die Funktionswerte negativ sind, d.h. unterhalb der x-Achse verlaufen (alternativ hätten wir dies auch mit Hilfe einer Skizze feststellen können).
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27 Umformen der anfänglichen Ungleichung ergibt:
28 {{formula}}
29 \begin{align*}
30 3x^2+12x+9 &<0 \quad \mid \cdot (-1) \\
31 -(3x^2+12x+9)&>0
32 \end{align*}
33 {{/formula}}
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35 Das heißt die Ungleichung {{formula}}-(3x^2+12x+9)>0{{/formula}} spiegelt den Sachverhalt wider.