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Wiki-Quellcode von Lösung Rückwärts lösen

Version 5.1 von akukin am 2024/12/17 20:00
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1 a) Aus {{formula}}x=-2{{/formula}} ergibt sich durch Potenzieren mit {{formula}}3{{/formula}}: {{formula}}x^3=-8{{/formula}}
2
3 Multiplizieren mit {{formula}}2{{/formula}} ergibt {{formula}}2x^3=-16{{/formula}}
4
5 Addieren von {{formula}}16{{/formula}} auf beiden Seiten ergibt {{formula}}2x^3+16=0{{/formula}}
6
7 Insgesamt folgt also:
8
9 {{formula}}
10 \begin{align}
11 2x^3+16&=0 \\
12 2x^3&=-16 \quad \mid :2 \\
13 x^3&=-8 \\
14 x&=-2
15 \end{align}
16 {{/formula}}
17
18 b) Die Gleichung hat die Lösungen {{formula}}x_{1,2}=0{{/formula}} und {{formula}}x_3=6{{/formula}}. In der Produktform/Nullstellenform ergibt sich:
19
20 {{formula}}
21 \begin{align}
22 2x^3(x-6)=0 \\
23 2x^3-12x^2=0
24 \end{align}
25 {{/formula}}
26
27 c) {{formula}}(\pm 2)^2=4{{/formula}}
28 Damit ergeben sich die beiden Lösungen {{formula}}z_1=36{{/formula}} und {{formula}}z_2=4{{/formula}}. In der Produktform/Nullstellenform ergibt sich {{formula}}(z-36)(z-4)=0{{/formula}}. Ausmultiplizieren führt auf {{formula}}z^2-4z-36z+144=0{{/formula}}
29
30 {{formula}}
31 \begin{align}
32 z^2-4z-36z+144=0 \\
33 \Leftrightarrow z^2-40z+144=0
34 \end{align}
35 {{/formula}}
36
37
38
39 Insgesamt ergibt sich
40
41 {{formula}}\begin{align*}
42 x^4-40x^2+144 &= 0 & \left|\left|\text{ Subst.: } & x^2:=z\\
43 z^2-40z+144=0 &= 0 & \left|\left|\text{ SVNP } &
44 \end{align*}
45 {{/formula}}
46
47 {{formula}}
48 \begin{align*}
49 \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{40\pm\sqrt{(-40)^2-4\cdot 1\cdot 144}}{2\cdot 1}\\
50 z_1&=\frac{40+32}{2}=36; z_2=\frac{40-32}{2}=4
51 \end{align*}
52 {{/formula}}
53
54 {{formula}}
55 \begin{align*}
56 &\text{Resubst.: } z := x^2\\
57 &x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\pm 6\\
58 &x_{3,4}^2=4 \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
59 \end{align*}
60 {{/formula}}
61
62 [[image:Handschriftlich.jpg]]