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Wiki-Quellcode von Lösung Rückwärts lösen

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/17 20:10
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1 a) Aus {{formula}}x=-2{{/formula}} ergibt sich durch Potenzieren mit {{formula}}3{{/formula}}: {{formula}}x^3=-8{{/formula}}
2
3 Multiplizieren mit {{formula}}2{{/formula}} ergibt {{formula}}2x^3=-16{{/formula}}
4
5 Addieren von {{formula}}16{{/formula}} auf beiden Seiten ergibt {{formula}}2x^3+16=0{{/formula}}
6
7
8 Insgesamt folgt also:
9
10 {{formula}}
11 \begin{align}
12 2x^3+16&=0 \\
13 2x^3&=-16 \quad \mid :2 \\
14 x^3&=-8 \\
15 x&=-2
16 \end{align}
17 {{/formula}}
18
19
20 b) Die Gleichung hat die Lösungen {{formula}}x_{1,2}=0{{/formula}} und {{formula}}x_3=6{{/formula}}. In der Produktform/Nullstellenform ergibt sich:
21
22 {{formula}}
23 \begin{align}
24 2x^2(x-6)=0 \\
25 2x^3-12x^2=0
26 \end{align}
27 {{/formula}}
28
29
30 Insgesamt ergibt sich:
31
32 {{formula}}
33 \begin{align*}
34 2x^3+(-12)x^2 &= 0 \\
35 2x^2 (x-6) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
36 \end{align*}
37 {{/formula}}
38
39 {{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=0; x_3=6{{/formula}}
40
41
42 c) {{formula}}(\pm 2)^2=4{{/formula}}
43 Damit ergeben sich die beiden Lösungen {{formula}}z_1=36{{/formula}} und {{formula}}z_2=4{{/formula}}. In der Produktform/Nullstellenform ergibt sich {{formula}}(z-36)(z-4)=0{{/formula}}.
44 Ausmultiplizieren führt auf
45
46 {{formula}}
47 \begin{align}
48 z^2-4z-36z+144=0 \\
49 z^2-40z+144=0
50 \end{align}
51 {{/formula}}
52
53
54
55 Insgesamt ergibt sich
56
57 {{formula}}\begin{align*}
58 x^4-40x^2+144 &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
59 z^2-40z+144 &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
60 \end{align*}
61 {{/formula}}
62
63 {{formula}}
64 \begin{align*}
65 \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{40\pm\sqrt{(-40)^2-4\cdot 1\cdot 144}}{2\cdot 1}\\
66 z_1&=\frac{40+32}{2}=36; z_2=\frac{40-32}{2}=4
67 \end{align*}
68 {{/formula}}
69
70 {{formula}}
71 \begin{align*}
72 &\text{Resubst.: } z := x^2\\
73 &x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\pm 6\\
74 &x_{3,4}^2=4 \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
75 \end{align*}
76 {{/formula}}