BPE 3.5 Anwendungen und Optimierungsprobleme

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/01/29 12:51

Inhalt

AFB I Torbogen
AFB II Freizeitbad Heißluftballons
AFB III Die optimale Geschenkschachtel Kommode im Dachzimmer Konditorei

K6 K4 Ich kann Polynomfunktionen und ihre Eigenschaften in einem gegebenen Sachzusammenhang deuten
K4 K5 Ich kann Polynomfunktionen zur Darstellung einfacher Optimierungsprobleme ermitteln
K4 K6 K5 Ich kann Wertetabellen, Funktionsgraphen und Funktionsterme zur Lösung von Optimierungsproblemen interpretieren

Aufgabe 1 Torbogen 𝕃

Karl läuft bei x=1,5 durch einen schönen Torbogen der Form $f(x)=-\frac{1}{20}x^4 +\frac{2}{5}x^2+\frac{6}{5}$ und stößt sich dabei ehrenlos den Kopf an.
Wie groß ist Karl mindestens?

AFB I	Kompetenzen K1	Bearbeitungszeit 3 min
Quelle Frauke Beckstette, Kim Fujan		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Freizeitbad 𝕃

Die Besucherzahlen eines Freizeitbades können zwischen 10:00 Uhr und 22:00 Uhr näherungsweise durch die Funktion $B(t)=-0,3t^3+9,3t^2-56,4t-66\quad t$ in h beschrieben werden.

Weise rechnerisch nach, dass sowohl um 10:00 Uhr als auch um 22:00 Uhr keine Besucher im Freizeitbad sind.
Berechne wie viele Besucher 3h vor Badschluss noch im Freizeitbad sind.
Zu welcher Zeit sind die meisten Besucher im Bad und wie viele sind das? (graphische Lösung)
Sind mehr als 100 Besucher im Freizeitbad muss eine zusätzliche Schwimmaufsicht gestellt werden. Veranschauliche den Zeitraum, den das betrifft im gegebenen Schaubild und gib den Zeitraum näherungsweise an.
Beschreibe wie man diesen Zeitraum rechnerisch ermitteln könnte ohne ihn explizit zu berechnen.

AFB II	Kompetenzen K4 K5 K6	Bearbeitungszeit 6 min
Quelle Frauke Beckstette; Kim Fujan		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Heißluftballons (gAN) 𝕃

Fahrt eines Heißluftballons

Heißluftballon.png

Das Schaubild stellt die Fahrt eines Heißluftballons dar.
Die Geschwindigkeit (in m/min) ist auf der y-Achse in Abhängigkeit der vergangenen Zeit auf der x-Achse (in min) abgetragen.

Anmerkung: Wenn der Wind sich dreht, kann der Ballon auch rückwärts fahren.

Welche Bedeutung haben die negativen Funktionswerte?
Welche Aussagen kann man über den zur Fahrt gehörenden Funktionsterm treffen?
Wir wollen nun wissen, zu welchen Zeitpunkten der Ballon weder vorwärts noch rückwärts gefahren ist.

Die folgende Funktion f mit D=[0;60], beschreibt näherungsweise die Geschwindigkeit des Ballons:
f(x)=-0,0029x^4+0,306x^3-10,28x^2+109,1x

AFB II	Kompetenzen K6 K1 K4	Bearbeitungszeit 7 min
Quelle k.A.		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 4 Die optimale Geschenkschachtel 𝕋 𝕃

Für ein Geburtstagsgeschenk möchtest du eine Schachtel mit möglichst großem Volumen basteln.
Dafür hast du zwei schöne grüne Kartons im DIN A4-Format (einen für die Schachtel und einen für den Deckel) besorgt.
Erläutere dein Vorgehen und ermittle die Maße, die du für diese ideale Geschenkschachtel erhälst.

AFB III	Kompetenzen K2 K4 K5	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle Allgemeingut		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 Kommode im Dachzimmer 𝕋 𝕃

Kay bezieht ein neues Zimmer im Dachgeschoss. Um möglichst viel Stauraum zu schaffen, soll in dem farbig markierten Bereich mit Dachschräge eine möglichst große Kommode aufgestellt werden. Welche Höhe und Tiefe sollte die 2 m breite Kommode dann haben?

AFB III	Kompetenzen K2 K3 K4 K5	Bearbeitungszeit 8 min
Quelle Frauke Beckstette; Kim Fujan		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 Konditorei 𝕃

Ein Konditorei stellt eine Gebäckmischung her. Der Gewinn der Konditorei für den Verkauf der Gebäckmischung kann durch die Funktion G(x)=-x^2+140x-2400 modelliert werden, wobei x die Anzahl der verkauften Gebäckmischungen und G(x) den Gewinn in Euro beschreibt. Bestimme die fehlenden Eintragungen in der Tabelle.

Aufgabenstellung	a)	b)	c) Ermittle, wie die Gewinnfunktion abgeändert werden muss, wenn bei gleichem Gewinnbereich der maximale Gewinn 3750 Euro betragen soll.
Durchführung bzw. Berechnung	$x_{1,2}=\frac{-140\pm\sqrt{140^2-4\cdot(-1)\cdot(-2400)}}{-2}$ $x_{1,2}=\frac{-140\pm 100}{-2}$ ; $I=\left]21;119\right[$
Antwort		Der maximale Gewinn wird bei dem Verkauf von 70 Gebäckmischungen erwirtschaftet und beträgt 2500 Euro.

AFB III	Kompetenzen K1 K2 K4 K5 K6	Bearbeitungszeit 11 min
Quelle Martina Wagner		Lizenz CC BY-SA

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

	K1	K2	K3	K4	K5	K6
I	1	0	0	0	0	0
II	1	0	0	2	1	2
III	1	3	1	3	3	1

Bearbeitungszeit gesamt: 50 min

Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst