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Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/04/25 01:56
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.martinrathgeb
Inhalt
... ... @@ -4,7 +4,7 @@
4 4  [[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
5 5  [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
6 6  [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
7 -[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
7 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
8 8  
9 9  {{lernende}}
10 10  [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
... ... @@ -11,15 +11,15 @@
11 11  {{/lernende}}
12 12  
13 13  {{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
14 -Entscheide jeweils, ob es sich bei dem Funktionsterm um einen Exponentialfunktionsterm handelt.
14 +Entscheide, ob der Term Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
15 15  (% class="abc" %)
16 -1. {{formula}}f(x) = \frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1{{/formula}}
17 -1. {{formula}}f(x) = \frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1{{/formula}}
16 +1. {{formula}}\frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1{{/formula}}
17 +1. {{formula}}\frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1{{/formula}}
18 18  {{/aufgabe}}
19 19  
20 20  {{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
21 -[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph zu {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}. Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von {{formula}}g(x)=2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x)=3^x{{/formula}} verlaufen.
22 -(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
21 +[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
22 +Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
23 23  {{/aufgabe}}
24 24  
25 25  {{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
... ... @@ -30,19 +30,20 @@
30 30  {{/aufgabe}}
31 31  
32 32  {{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
33 -Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.
33 +(% class="abc" %)
34 +1. Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.
34 34  (% class="border slim" %)
35 35  |=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
36 36  |={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
37 37  
38 -Erläutere, warum wir die Exponentialfunktion nur für positive Basen definieren.
39 +1. Erläutere, warum Exponentialfunktion nur für positive Basen {{formula}}q>0{{/formula}}, {{formula}}q\ne 1{{/formula}} definiert werden.
39 39  {{/aufgabe}}
40 40  
41 41  {{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
42 -Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist gegeben mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktion {{formula}}f{{/formula}} in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit einem geeigneten //k// an.
43 +Gegeben ist die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit einem geeigneten //k// an.
43 43  {{/aufgabe}}
44 44  
45 -{{aufgabe id="Basiswechel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
46 +{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
46 46  Führe bei folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
47 47  (% class="abc" %)
48 48  1. {{formula}}f(x)=(\frac{1}{4})^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b=2{{/formula}}
... ... @@ -57,7 +57,7 @@
57 57  {{formula}}a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}{{/formula}}
58 58  {{formula}}a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{{/formula}}
59 59  (% class="abc" %)
60 -1. Welchem Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne {{formula}} a_5, a_6
61 +1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne {{formula}} a_5, a_6
61 61  {{/formula}}.
62 62  1. Die eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}} e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...{{/formula}}. D.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl {{formula}} e{{/formula}} auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
63 63  {{/aufgabe}}
... ... @@ -65,8 +65,107 @@
65 65  {{lehrende}}
66 66  "Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
67 67  K3 wird bewusst weggelassen, weil es in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
68 -Zu K2 könnte man sich noch was überlegen.
69 +Für K2 geben die Kompetenzen nur wenig her.
69 69  AFB III muss hier nicht erreicht werden.
70 70  {{/lehrende}}
71 71  
72 -{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="3" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
73 +{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
74 +
75 +**Bereinigter und überarbeiteter Wiki-Code gemäß BP BW (BG, Abitur ab 2024)**
76 +
77 +[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
78 +[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
79 +[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
80 +[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
81 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
82 +
83 +[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
84 +
85 +---
86 +
87 +{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
88 +Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
89 +(% class="abc" %)
90 +1. {{formula}}\frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1{{/formula}}
91 +1. {{formula}}\frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1{{/formula}}
92 +{{/aufgabe}}
93 +
94 +{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
95 +Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
96 +Skizziere die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
97 +(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
98 +[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]
99 +{{/aufgabe}}
100 +
101 +{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
102 +Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
103 +Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für {{formula}}x < 0{{/formula}}.
104 +
105 +{{formula}}f(x) = 1 + 2x{{/formula}}, {{formula}}g(x) = 1 + x^2{{/formula}}, {{formula}}h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x{{/formula}},
106 +{{formula}}i(x) = \frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}, {{formula}}j(x) = 2^x{{/formula}}, {{formula}}k(x) = 1{{/formula}}
107 +
108 +[[image:graph f.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
109 +[[image:graph g.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
110 +[[image:graph h.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
111 +[[image:graph p.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
112 +[[image:graph q.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
113 +[[image:graph r.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
114 +{{/aufgabe}}
115 +
116 +{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
117 +(% class="abc" %)
118 +1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
119 +(% class="border slim" %)
120 +|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
121 +|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
122 +
123 +1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q > 0{{/formula}}, {{formula}}q \ne 1{{/formula}} definiert werden.
124 +{{/aufgabe}}
125 +
126 +{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
127 +Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = 2^x{{/formula}}.
128 +Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x) = 4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
129 +{{/aufgabe}}
130 +
131 +{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
132 +Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
133 +(% class="abc" %)
134 +1. {{formula}}f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 2{{/formula}}
135 +1. {{formula}}f(x) = 9^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}
136 +1. {{formula}}f(x) = 5^{2x+1}{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 25{{/formula}}
137 +{{/aufgabe}}
138 +
139 +{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
140 +Gegeben sind die Zahlterme:
141 +{{formula}}a_1 = 2{{/formula}}
142 +{{formula}}a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2}{{/formula}}
143 +{{formula}}a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}{{/formula}}
144 +{{formula}}a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{{/formula}}
145 +
146 +(% class="abc" %)
147 +1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne {{formula}}a_5, a_6{{/formula}}.
148 +1. Die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}}e{{/formula}} so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
149 +{{/aufgabe}}
150 +
151 +{{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
152 +Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = q^x{{/formula}}.
153 +
154 +Berechne für verschiedene Werte von {{formula}}q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}{{/formula}} den Funktionswert an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall {{formula}}[0, 0{,}1]{{/formula}}.
155 +
156 +(% class="abc" %)
157 +1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
158 +1. Welche Besonderheit stellst du für {{formula}}q = e{{/formula}} fest?
159 +1. Erkläre, warum man {{formula}}e{{/formula}} als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
160 +{{/aufgabe}}
161 +
162 +{{lehrende}}
163 +Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}} der Funktionswert und die Steigung an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} gleich sind, d. h. {{formula}}f(0) = 1{{/formula}} und {{formula}}f'(0) = 1{{/formula}}.
164 +Eine Anwendungsaufgabe zur stetigen Verzinsung kann hier sinnvoll ergänzen.
165 +
166 +K3 wird bewusst ausgelassen, da er in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
167 +Für K2 gibt es aktuell keine geeigneten inhaltsbezogenen Anknüpfungspunkte.
168 +AFB III muss in diesem Themenblock nicht zwingend erreicht werden.
169 +{{/lehrende}}
170 +
171 +{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
172 +