Änderungen von Dokument BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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71	71	{{/lehrende}}
72	72
73	73	{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
74		-
75		-**Bereinigter und überarbeiteter Wiki-Code gemäß BP BW (BG, Abitur ab 2024)**
76		-
77		-[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
78		-[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
79		-[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl \( e \) auf zwei Nachkommastellen genau angeben
80		-[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
81		-[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
82		-
83		-[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
84		-
85		----
86		-
87		-{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
88		-Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
89		-(% class="abc" %)
90		-1. \( \frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1 \)
91		-1. \( \frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1 \)
92		-{{/aufgabe}}
93		-
94		-{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
95		-Gegeben ist der Graph der Funktion \(f\) mit \( f(x) = e^x \).
96		-Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen \(g\) und \(h\) mit \( g(x) = 2^x \) und \( h(x) = 3^x \) im Vergleich zum Graphen von \(f\).
97		-[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]
98		-{{/aufgabe}}
99		-
100		-{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
101		-Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
102		-Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für \( x < 0 \).
103		-
104		-\( f(x) = 1 + 2x \), \( g(x) = 1 + x^2 \), \( h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x \),
105		-\( i(x) = \frac{1}{(x+1)^2} \), \( j(x) = 2^x \), \( k(x) = 1 \)
106		-
107		-[[image:graph f.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
108		-[[image:graph g.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
109		-[[image:graph h.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
110		-[[image:graph p.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
111		-[[image:graph q.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
112		-[[image:graph r.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
113		-
114		-{{/aufgabe}}
115		-
116		-{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
117		-(% class="abc" %)
118		-1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
119		-(% class="border slim" %)
120		-|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
121		-|=\( (-2)^x \)||||||
122		-
123		-1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen \( q > 0 \), \( q \ne 1 \) definiert werden.
124		-{{/aufgabe}}
125		-
126		-{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
127		-Gegeben ist die Funktion \( f(x) = 2^x \).
128		-Gib die Funktionsgleichung in der Form \( f(x) = 4^{kx} \) mit geeignetem \( k \) an.
129		-{{/aufgabe}}
130		-
131		-{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
132		-Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
133		-(% class="abc" %)
134		-1. \( f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x \), neue Basis \( b = 2 \)
135		-1. \( f(x) = 9^x \), neue Basis \( b = \frac{1}{3} \)
136		-1. \( f(x) = 5^{2x+1} \), neue Basis \( b = 25 \)
137		-{{/aufgabe}}
138		-
139		-{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
140		-Gegeben sind die Zahlterme:
141		-\( a_1 = 2 \)
142		-\( a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} \)
143		-\( a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} \)
144		-\( a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \)
145		-
146		-(% class="abc" %)
147		-1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne \( a_5, a_6 \).
148		-1. Die Eulersche Zahl \( e \) ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib \( e \) so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
149		-{{/aufgabe}}
150		-
151		-{{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
152		-Gegeben ist die Funktion \( f(x) = q^x \).
153		-
154		-Berechne für verschiedene Werte von \( q \in \{2;\ 2{,}5;\ 3;\ e\} \) den Funktionswert an der Stelle \( x = 0 \) sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0,\ 0{,}1]\).
155		-
156		-(% class="abc" %)
157		-1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
158		-1. Welche Besonderheit stellst du für \( q = e \) fest?
159		-1. Erkläre, warum man \( e \) als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
160		-{{/aufgabe}}
161		-
162		-{{lehrende}}
163		-Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei \( f(x) = e^x \) der Funktionswert und die Steigung an der Stelle \( x = 0 \) gleich sind, d. h. \( f(0) = 1 \) und \( f'(0) = 1 \).
164		-Eine Anwendungsaufgabe zur stetigen Verzinsung kann hier sinnvoll ergänzen.
165		-
166		-K3 wird bewusst ausgelassen, da er in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
167		-Für K2 gibt es aktuell keine geeigneten inhaltsbezogenen Anknüpfungspunkte.
168		-AFB III muss in diesem Themenblock nicht zwingend erreicht werden.
169		-{{/lehrende}}
170		-
171		-{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
172		-