Änderungen von Dokument BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -4,7 +4,7 @@
  [[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
  [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
  [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
--[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
++[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
  {{lernende}}
  [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
@@ -18,13 +18,13 @@
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
--[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph zu {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}. Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von {{formula}}g(x)=2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x)=3^x{{/formula}} verlaufen.
--(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
++[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
++Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
--Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für //x<0//.
--{{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}}   {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}}   {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}}   {{formula}}i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}   {{formula}}j(x)=2^x{{/formula}}   {{formula}}k(x)=1{{/formula}}
++Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere zudem in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für {{formula}}x<0{{/formula}}.
++{{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}},   {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}},   {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}},   {{formula}}i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}},   {{formula}}j(x)=2^x{{/formula}},   {{formula}}k(x)=1{{/formula}}.
  [[image:graph f.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph g.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph h.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph p.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph q.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph r.svg||style="margin: 8px;width:360px"]]
  (% class="abc" %)
  {{/aufgabe}}
@@ -31,16 +31,15 @@
  {{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
  (% class="abc" %)
--1. Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.
++1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
  (% class="border slim" %)
  |=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
  |={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
--
--1. Erläutere, warum Exponentialfunktion nur für positive Basen {{formula}}q>0{{/formula}}, {{formula}}q\ne 1{{/formula}} definiert werden.
++1. Erläutere, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q>0{{/formula}}, {{formula}}q\ne 1{{/formula}} definiert werden.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
--Gegeben ist die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit einem geeigneten //k// an.
++Gegeben ist die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
@@ -52,121 +52,30 @@
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
--Gegeben sind die Zahlterme
++Gegeben sind folgende Zahlterme:
  {{formula}}a_1=2{{/formula}}
  {{formula}}a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}{{/formula}}
  {{formula}}a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}{{/formula}}
  {{formula}}a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{{/formula}}
  (% class="abc" %)
--1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne {{formula}} a_5, a_6
--{{/formula}}.
--1. Die eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}} e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...{{/formula}}. D.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl {{formula}} e{{/formula}} auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
++1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster für {{formula}} a_5, a_6
++{{/formula}} fort und berechne die beiden Werte.
++1. Die Eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
  {{/aufgabe}}
--{{lehrende}}
--"Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
--K3 wird bewusst weggelassen, weil es in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
--Für K2 geben die Kompetenzen nur wenig her.
--AFB III muss hier nicht erreicht werden.
--{{/lehrende}}
--
--{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
--
--**Bereinigter und überarbeiteter Wiki-Code gemäß BP BW (BG, Abitur ab 2024)**
--
--[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
--[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
--[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
--[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
--[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
--
--[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
--
-----
--
--{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
--Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
--(% class="abc" %)
--1. {{formula}}\frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1{{/formula}}
--1. {{formula}}\frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1{{/formula}}
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
--Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
--Skizziere die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
--(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
--[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
--Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
--Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für {{formula}}x < 0{{/formula}}.
--
--{{formula}}f(x) = 1 + 2x{{/formula}}, {{formula}}g(x) = 1 + x^2{{/formula}}, {{formula}}h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x{{/formula}},
--{{formula}}i(x) = \frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}, {{formula}}j(x) = 2^x{{/formula}}, {{formula}}k(x) = 1{{/formula}}
--
--[[image:graph f.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
--[[image:graph g.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
--[[image:graph h.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
--[[image:graph p.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
--[[image:graph q.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
--[[image:graph r.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
--(% class="abc" %)
--1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
--(% class="border slim" %)
--|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
--|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
--
--1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q > 0{{/formula}}, {{formula}}q \ne 1{{/formula}} definiert werden.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
--Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = 2^x{{/formula}}.
--Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x) = 4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
--Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
--(% class="abc" %)
--1. {{formula}}f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 2{{/formula}}
--1. {{formula}}f(x) = 9^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}
--1. {{formula}}f(x) = 5^{2x+1}{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 25{{/formula}}
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
--Gegeben sind die Zahlterme:
--{{formula}}a_1 = 2{{/formula}}
--{{formula}}a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2}{{/formula}}
--{{formula}}a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}{{/formula}}
--{{formula}}a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{{/formula}}
--
--(% class="abc" %)
--1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne {{formula}}a_5, a_6{{/formula}}.
--1. Die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}}e{{/formula}} so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
--{{/aufgabe}}
--
  {{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
--Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = q^x{{/formula}}.
--
--Berechne für verschiedene Werte von {{formula}}q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}{{/formula}} den Funktionswert an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall {{formula}}[0, 0{,}1]{{/formula}}.
--
++Gegeben ist die Exponentialfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = q^x{{/formula}}.
  (% class="abc" %)
--1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
--1. Welche Besonderheit stellst du für {{formula}}q = e{{/formula}} fest?
++1. Berechne für verschiedene Werte von {{formula}}q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}{{/formula}} den Funktionswert an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall {{formula}}[0, 0{,}1]{{/formula}}. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
++1. Welche Besonderheit stellst du für {{formula}}q = e{{/formula}} fest?
 . Erkläre, warum man {{formula}}e{{/formula}} als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
  {{/aufgabe}}
  {{lehrende}}
--Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}} der Funktionswert und die Steigung an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} gleich sind, d. h. {{formula}}f(0) = 1{{/formula}} und {{formula}}f'(0) = 1{{/formula}}.
--Eine Anwendungsaufgabe zur stetigen Verzinsung kann hier sinnvoll ergänzen.
--
--K3 wird bewusst ausgelassen, da er in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
--Für K2 gibt es aktuell keine geeigneten inhaltsbezogenen Anknüpfungspunkte.
--AFB III muss in diesem Themenblock nicht zwingend erreicht werden.
++"Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht (bzw. am ehesten in Aufgabe "Natürliche Basis anschaulich") abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
++K3 wird bewusst weggelassen, weil es in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
++Für K2 geben die Kompetenzen nur wenig her.
++AFB III muss hier nicht erreicht werden.
  {{/lehrende}}
  {{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
--

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