BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

Version 90.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/25 01:09

Inhalt

AFB I Exponentialfunktion e-Funktion im Vergleich Basiswechsel Eulersche Zahl Exponentialfunktion e-Funktion im Vergleich Basiswechsel Eulersche Zahl
AFB II Graphen Negative Basis Basiswechsel verstehen Graphen Negative Basis Basiswechsel verstehen Natürliche Basis anschaulich

K4 Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
K4 Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
K6 Ich kann die Eulersche Zahl auf zwei Nachkommastellen genau angeben
K1 Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
K4 K5 Ich kann einen Basiswechsel durchführen

GeoGebra-Buch

Aufgabe 1 Exponentialfunktion 𝕃

Entscheide, ob der Term Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.

$\frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1$
$\frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 2 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 e-Funktion im Vergleich

Gegeben ist der Graph zu f(x)=e^x . Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von g(x)=2^x und h(x)=3^x verlaufen.
(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Niklas Wunder, Katharina Schneider		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Graphen

Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für x<0.
f(x)=1+2x g(x)=1 + x^2 $h(x)=(\frac{1}{2})^x$ $i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$ j(x)=2^x k(x)=1
graph f.svg graph g.svg graph h.svg graph p.svg graph q.svg graph r.svg

AFB II	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 8 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 4 Negative Basis 𝕋 𝕃

Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.

x	2	1	0	-1	-2	-1,5

Erläutere, warum Exponentialfunktion nur für positive Basen , $q\ne 1$ definiert werden.

AFB II	Kompetenzen K1 K6	Bearbeitungszeit 4 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 Basiswechsel verstehen 𝕃

Gegeben ist die Funktion mit f(x)=2^x . Gib die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=4^{kx}$ mit einem geeigneten k an.

AFB II	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 4 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 Basiswechsel 𝕃

Führe bei folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.

$f(x)=(\frac{1}{4})^x$ , neue Basis
, neue Basis $b=\frac{1}{3}$
$f(x)=5^{2x+1}$ , neue Basis

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Niklas Wunder, Katharina Schneider		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 7 Eulersche Zahl

Gegeben sind die Zahlterme
a_1=2
$a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}$
$a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}$
$a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$

Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne .
Die eulersche Zahl ist gegeben durch $e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...$ . D.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.

AFB I	Kompetenzen K1 K6	Bearbeitungszeit 6 min
Quelle Niklas Wunder, Katharina Schneider		Lizenz CC BY-SA

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

	K1	K4	K5	K6
I	2	4	2	2
II	3	2	2	2
III	0	0	0	0

Bearbeitungszeit gesamt: 83 min

Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst

Bereinigter und überarbeiteter Wiki-Code gemäß BP BW (BG, Abitur ab 2024)

GeoGebra-Buch

Aufgabe 8 Exponentialfunktion 𝕃

Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.

$\frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1$
$\frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 2 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 9 e-Funktion im Vergleich

Gegeben ist der Graph der Funktion mit f(x) = e^x .
Skizziere die Graphen der Funktionen und mit g(x) = 2^x und h(x) = 3^x im Vergleich zum Graphen von .
(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Niklas Wunder, Katharina Schneider		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 10 Graphen

Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für x < 0 .

f(x) = 1 + 2x , g(x) = 1 + x^2 , $h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ ,
$i(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$ , j(x) = 2^x , k(x) = 1

graph f.svg
graph g.svg
graph h.svg
graph p.svg
graph q.svg
graph r.svg

AFB II	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 8 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 11 Negative Basis 𝕋 𝕃

Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.

x	2	1	0	-1	-2	-1,5

Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen , $q \ne 1$ definiert werden.

AFB II	Kompetenzen K1 K6	Bearbeitungszeit 4 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 12 Basiswechsel verstehen 𝕃

Gegeben ist die Funktion f(x) = 2^x .
Gib die Funktionsgleichung in der Form $f(x) = 4^{kx}$ mit geeignetem an.

AFB II	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 4 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 13 Basiswechsel 𝕃

Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.

$f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ , neue Basis
, neue Basis $b = \frac{1}{3}$
$f(x) = 5^{2x+1}$ , neue Basis

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Niklas Wunder, Katharina Schneider		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 14 Eulersche Zahl

Gegeben sind die Zahlterme:
a_1 = 2
$a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2}$
$a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}$
$a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}$

Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne .
Die Eulersche Zahl ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.

AFB I	Kompetenzen K1 K6	Bearbeitungszeit 6 min
Quelle Niklas Wunder, Katharina Schneider		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 15 Natürliche Basis anschaulich

Gegeben ist die Funktion f(x) = q^x .

Berechne für verschiedene Werte von $q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}$ den Funktionswert an der Stelle x = 0 sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall [0, 0{,}1] .

Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
Welche Besonderheit stellst du für fest?
Erkläre, warum man als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.

AFB II	Kompetenzen K1	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Erweiterung		Lizenz CC BY-SA