BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

1  Exponentialfunktion  (2 min) 𝕃

Entscheide, ob der Term Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.

1. \(\frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1\)
2. \(\frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1\)

2  e-Funktion im Vergleich  (5 min) 𝕃

Gegeben ist der Graph zu \(f(x)=e^x\). Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von \(g(x)=2^x\) und \(h(x)=3^x\) verlaufen.
(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)

3  Graphen  (8 min) 𝕃

Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für x<0.
\(f(x)=1+2x\)   \(g(x)=1 + x^2\)   \(h(x)=(\frac{1}{2})^x\)   \(i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}\)   \(j(x)=2^x\)   \(k(x)=1\)

4  Negative Basis  (4 min) 𝕋  𝕃

1. Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.

1. Erläutere, warum Exponentialfunktion nur für positive Basen \(q>0\), \(q\ne 1\) definiert werden.

5  Basiswechsel verstehen  (4 min) 𝕃

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=2^x\). Gib die Funktionsgleichung in der Form \(f(x)=4^{kx}\) mit einem geeigneten k an.

6  Basiswechsel  (10 min) 𝕃

Führe bei folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.

1. \(f(x)=(\frac{1}{4})^x\), neue Basis \(b=2\)
2. \(f(x)=9^x\), neue Basis \(b=\frac{1}{3}\)
3. \(f(x)=5^{2x+1}\), neue Basis \(b=25\)

7  Eulersche Zahl  (6 min) 𝕃

Gegeben sind die Zahlterme
\(a_1=2\)
\(a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}\)
\(a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}\)
\(a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\)

1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne \( a_5, a_6\).
2. Die eulersche Zahl \( e\) ist gegeben durch \( e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...\). D.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl \( e\) auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl \( e\) so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.

8  Exponentialfunktion  (2 min) 𝕃

Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.  

1. \(\frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1\)  
2. \(\frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1\)  

9  e-Funktion im Vergleich  (5 min) 𝕃

Gegeben ist der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^x\).  
Skizziere die Graphen der Funktionen \(g\) und \(h\) mit \(g(x) = 2^x\) und \(h(x) = 3^x\) im Vergleich zum Graphen von \(f\).  
(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)  

10  Graphen  (8 min) 𝕃

Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.  
Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für \(x < 0\).  

\(f(x) = 1 + 2x\), \(g(x) = 1 + x^2\), \(h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\),  
\(i(x) = \frac{1}{(x+1)^2}\), \(j(x) = 2^x\), \(k(x) = 1\)  

11  Negative Basis  (4 min) 𝕋  𝕃

1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.  

1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen \(q > 0\), \(q \ne 1\) definiert werden.

12  Basiswechsel verstehen  (4 min) 𝕃

Gegeben ist die Funktion \(f(x) = 2^x\).  
Gib die Funktionsgleichung in der Form \(f(x) = 4^{kx}\) mit geeignetem \(k\) an.

13  Basiswechsel  (10 min) 𝕃

Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.  

1. \(f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x\), neue Basis \(b = 2\)  
2. \(f(x) = 9^x\), neue Basis \(b = \frac{1}{3}\)  
3. \(f(x) = 5^{2x+1}\), neue Basis \(b = 25\)  

14  Eulersche Zahl  (6 min) 𝕃

Gegeben sind die Zahlterme:  
\(a_1 = 2\)  
\(a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2}\)  
\(a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}\)  
\(a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}\)  

1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne \(a_5, a_6\).  
2. Die Eulersche Zahl \(e\) ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib \(e\) so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.

15  Natürliche Basis anschaulich  (5 min)

Gegeben ist die Funktion \(f(x) = q^x\).  

Berechne für verschiedene Werte von \(q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}\) den Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0, 0{,}1]\).  

1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.  
2. Welche Besonderheit stellst du für \(q = e\) fest?  
3. Erkläre, warum man \(e\) als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.