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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -4,7 +4,7 @@
4 4  [[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
5 5  [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
6 6  [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
7 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
7 +[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
8 8  
9 9  {{lernende}}
10 10  [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
... ... @@ -18,8 +18,8 @@
18 18  {{/aufgabe}}
19 19  
20 20  {{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
21 -[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
22 -Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
21 +[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph zu {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}. Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von {{formula}}g(x)=2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x)=3^x{{/formula}} verlaufen.
22 +(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
23 23  {{/aufgabe}}
24 24  
25 25  {{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
... ... @@ -76,7 +76,7 @@
76 76  
77 77  [[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
78 78  [[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
79 -[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
79 +[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl \( e \) auf zwei Nachkommastellen genau angeben
80 80  [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
81 81  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
82 82  
... ... @@ -87,23 +87,22 @@
87 87  {{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
88 88  Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
89 89  (% class="abc" %)
90 -1. {{formula}}\frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1{{/formula}}
91 -1. {{formula}}\frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1{{/formula}}
90 +1. \( \frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1 \)
91 +1. \( \frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1 \)
92 92  {{/aufgabe}}
93 93  
94 94  {{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
95 -Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
96 -Skizziere die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
97 -(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
95 +Gegeben ist der Graph der Funktion \(f\) mit \( f(x) = e^x \).
96 +Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen \(g\) und \(h\) mit \( g(x) = 2^x \) und \( h(x) = 3^x \) im Vergleich zum Graphen von \(f\).
98 98  [[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]
99 99  {{/aufgabe}}
100 100  
101 101  {{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
102 102  Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
103 -Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für {{formula}}x < 0{{/formula}}.
102 +Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für \( x < 0 \).
104 104  
105 -{{formula}}f(x) = 1 + 2x{{/formula}}, {{formula}}g(x) = 1 + x^2{{/formula}}, {{formula}}h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x{{/formula}},
106 -{{formula}}i(x) = \frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}, {{formula}}j(x) = 2^x{{/formula}}, {{formula}}k(x) = 1{{/formula}}
104 +\( f(x) = 1 + 2x \), \( g(x) = 1 + x^2 \), \( h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x \),
105 +\( i(x) = \frac{1}{(x+1)^2} \), \( j(x) = 2^x \), \( k(x) = 1 \)
107 107  
108 108  [[image:graph f.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
109 109  [[image:graph g.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
... ... @@ -111,6 +111,7 @@
111 111  [[image:graph p.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
112 112  [[image:graph q.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
113 113  [[image:graph r.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
113 +
114 114  {{/aufgabe}}
115 115  
116 116  {{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
... ... @@ -118,49 +118,49 @@
118 118  1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
119 119  (% class="border slim" %)
120 120  |=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
121 -|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
121 +|=\( (-2)^x \)||||||
122 122  
123 -1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q > 0{{/formula}}, {{formula}}q \ne 1{{/formula}} definiert werden.
123 +1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen \( q > 0 \), \( q \ne 1 \) definiert werden.
124 124  {{/aufgabe}}
125 125  
126 126  {{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
127 -Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = 2^x{{/formula}}.
128 -Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x) = 4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
127 +Gegeben ist die Funktion \( f(x) = 2^x \).
128 +Gib die Funktionsgleichung in der Form \( f(x) = 4^{kx} \) mit geeignetem \( k \) an.
129 129  {{/aufgabe}}
130 130  
131 131  {{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
132 132  Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
133 133  (% class="abc" %)
134 -1. {{formula}}f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 2{{/formula}}
135 -1. {{formula}}f(x) = 9^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}
136 -1. {{formula}}f(x) = 5^{2x+1}{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 25{{/formula}}
134 +1. \( f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x \), neue Basis \( b = 2 \)
135 +1. \( f(x) = 9^x \), neue Basis \( b = \frac{1}{3} \)
136 +1. \( f(x) = 5^{2x+1} \), neue Basis \( b = 25 \)
137 137  {{/aufgabe}}
138 138  
139 139  {{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
140 140  Gegeben sind die Zahlterme:
141 -{{formula}}a_1 = 2{{/formula}}
142 -{{formula}}a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2}{{/formula}}
143 -{{formula}}a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}{{/formula}}
144 -{{formula}}a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{{/formula}}
141 +\( a_1 = 2 \)
142 +\( a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} \)
143 +\( a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} \)
144 +\( a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \)
145 145  
146 146  (% class="abc" %)
147 -1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne {{formula}}a_5, a_6{{/formula}}.
148 -1. Die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}}e{{/formula}} so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
147 +1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne \( a_5, a_6 \).
148 +1. Die Eulersche Zahl \( e \) ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib \( e \) so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
149 149  {{/aufgabe}}
150 150  
151 151  {{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
152 -Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = q^x{{/formula}}.
152 +Gegeben ist die Funktion \( f(x) = q^x \).
153 153  
154 -Berechne für verschiedene Werte von {{formula}}q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}{{/formula}} den Funktionswert an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall {{formula}}[0, 0{,}1]{{/formula}}.
154 +Berechne für verschiedene Werte von \( q \in \{2;\ 2{,}5;\ 3;\ e\} \) den Funktionswert an der Stelle \( x = 0 \) sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0,\ 0{,}1]\).
155 155  
156 156  (% class="abc" %)
157 157  1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
158 -1. Welche Besonderheit stellst du für {{formula}}q = e{{/formula}} fest?
159 -1. Erkläre, warum man {{formula}}e{{/formula}} als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
158 +1. Welche Besonderheit stellst du für \( q = e \) fest?
159 +1. Erkläre, warum man \( e \) als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
160 160  {{/aufgabe}}
161 161  
162 162  {{lehrende}}
163 -Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}} der Funktionswert und die Steigung an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} gleich sind, d. h. {{formula}}f(0) = 1{{/formula}} und {{formula}}f'(0) = 1{{/formula}}.
163 +Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei \( f(x) = e^x \) der Funktionswert und die Steigung an der Stelle \( x = 0 \) gleich sind, d. h. \( f(0) = 1 \) und \( f'(0) = 1 \).
164 164  Eine Anwendungsaufgabe zur stetigen Verzinsung kann hier sinnvoll ergänzen.
165 165  
166 166  K3 wird bewusst ausgelassen, da er in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.