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Version 89.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/25 01:06
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
4 [[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
5 [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
6 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
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9 {{lernende}}
10 [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
11 {{/lernende}}
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13 {{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
14 Entscheide, ob der Term Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
15 (% class="abc" %)
16 1. {{formula}}\frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1{{/formula}}
17 1. {{formula}}\frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1{{/formula}}
18 {{/aufgabe}}
19
20 {{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
21 [[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph zu {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}. Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von {{formula}}g(x)=2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x)=3^x{{/formula}} verlaufen.
22 (Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
23 {{/aufgabe}}
24
25 {{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
26 Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für //x<0//.
27 {{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}} {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}} {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}} {{formula}}i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}} {{formula}}j(x)=2^x{{/formula}} {{formula}}k(x)=1{{/formula}}
28 [[image:graph f.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph g.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph h.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph p.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph q.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph r.svg||style="margin: 8px;width:360px"]]
29 (% class="abc" %)
30 {{/aufgabe}}
31
32 {{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
33 (% class="abc" %)
34 1. Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.
35 (% class="border slim" %)
36 |=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
37 |={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
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39 1. Erläutere, warum Exponentialfunktion nur für positive Basen {{formula}}q>0{{/formula}}, {{formula}}q\ne 1{{/formula}} definiert werden.
40 {{/aufgabe}}
41
42 {{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
43 Gegeben ist die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit einem geeigneten //k// an.
44 {{/aufgabe}}
45
46 {{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
47 Führe bei folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
48 (% class="abc" %)
49 1. {{formula}}f(x)=(\frac{1}{4})^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b=2{{/formula}}
50 1. {{formula}}f(x)=9^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b=\frac{1}{3}{{/formula}}
51 1. {{formula}}f(x)=5^{2x+1}{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b=25{{/formula}}
52 {{/aufgabe}}
53
54 {{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
55 Gegeben sind die Zahlterme
56 {{formula}}a_1=2{{/formula}}
57 {{formula}}a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}{{/formula}}
58 {{formula}}a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}{{/formula}}
59 {{formula}}a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{{/formula}}
60 (% class="abc" %)
61 1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne {{formula}} a_5, a_6
62 {{/formula}}.
63 1. Die eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}} e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...{{/formula}}. D.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl {{formula}} e{{/formula}} auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
64 {{/aufgabe}}
65
66 {{lehrende}}
67 "Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
68 K3 wird bewusst weggelassen, weil es in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
69 Für K2 geben die Kompetenzen nur wenig her.
70 AFB III muss hier nicht erreicht werden.
71 {{/lehrende}}
72
73 {{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
74
75 **Bereinigter und überarbeiteter Wiki-Code gemäß BP BW (BG, Abitur ab 2024)**
76
77 [[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
78 [[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
79 [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl \( e \) auf zwei Nachkommastellen genau angeben
80 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
81 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
82
83 [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
84
85 ---
86
87 {{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
88 Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
89 (% class="abc" %)
90 1. \( \frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1 \)
91 1. \( \frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1 \)
92 {{/aufgabe}}
93
94 {{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
95 Gegeben ist der Graph der Funktion \(f\) mit \( f(x) = e^x \).
96 Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen \(g\) und \(h\) mit \( g(x) = 2^x \) und \( h(x) = 3^x \) im Vergleich zum Graphen von \(f\).
97 [[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]
98 {{/aufgabe}}
99
100 {{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
101 Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
102 Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für \( x < 0 \).
103
104 \( f(x) = 1 + 2x \), \( g(x) = 1 + x^2 \), \( h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x \),
105 \( i(x) = \frac{1}{(x+1)^2} \), \( j(x) = 2^x \), \( k(x) = 1 \)
106
107 [[image:graph f.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
108 [[image:graph g.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
109 [[image:graph h.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
110 [[image:graph p.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
111 [[image:graph q.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
112 [[image:graph r.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
113
114 {{/aufgabe}}
115
116 {{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
117 (% class="abc" %)
118 1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
119 (% class="border slim" %)
120 |=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
121 |=\( (-2)^x \)||||||
122
123 1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen \( q > 0 \), \( q \ne 1 \) definiert werden.
124 {{/aufgabe}}
125
126 {{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
127 Gegeben ist die Funktion \( f(x) = 2^x \).
128 Gib die Funktionsgleichung in der Form \( f(x) = 4^{kx} \) mit geeignetem \( k \) an.
129 {{/aufgabe}}
130
131 {{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
132 Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
133 (% class="abc" %)
134 1. \( f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x \), neue Basis \( b = 2 \)
135 1. \( f(x) = 9^x \), neue Basis \( b = \frac{1}{3} \)
136 1. \( f(x) = 5^{2x+1} \), neue Basis \( b = 25 \)
137 {{/aufgabe}}
138
139 {{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
140 Gegeben sind die Zahlterme:
141 \( a_1 = 2 \)
142 \( a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} \)
143 \( a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} \)
144 \( a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \)
145
146 (% class="abc" %)
147 1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne \( a_5, a_6 \).
148 1. Die Eulersche Zahl \( e \) ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib \( e \) so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
149 {{/aufgabe}}
150
151 {{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
152 Gegeben ist die Funktion \( f(x) = q^x \).
153
154 Berechne für verschiedene Werte von \( q \in \{2;\ 2{,}5;\ 3;\ e\} \) den Funktionswert an der Stelle \( x = 0 \) sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0,\ 0{,}1]\).
155
156 (% class="abc" %)
157 1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
158 1. Welche Besonderheit stellst du für \( q = e \) fest?
159 1. Erkläre, warum man \( e \) als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
160 {{/aufgabe}}
161
162 {{lehrende}}
163 Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei \( f(x) = e^x \) der Funktionswert und die Steigung an der Stelle \( x = 0 \) gleich sind, d. h. \( f(0) = 1 \) und \( f'(0) = 1 \).
164 Eine Anwendungsaufgabe zur stetigen Verzinsung kann hier sinnvoll ergänzen.
165
166 K3 wird bewusst ausgelassen, da er in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
167 Für K2 gibt es aktuell keine geeigneten inhaltsbezogenen Anknüpfungspunkte.
168 AFB III muss in diesem Themenblock nicht zwingend erreicht werden.
169 {{/lehrende}}
170
171 {{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}