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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/03/11 13:11
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Holger Engels 4.1 1 Gegeben ist die Funktion:
2
3 {{formula}}i(x) = (x+2)e^{-x}{{/formula}}
4
5 [[image:Eigenschaften und Nullstellen.png||width="400"]]
6
7 (% class="abc" %)
8 1. (((Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse.
9 {{formula}}i(0) = (0+2)e^{-0} = 2 \Rightarrow S_y(0|2){{/formula}}
10 )))
11 1. (((Berechne die Nullstelle.
Holger Engels 5.1 12 {{formula}}i(x) = 0 \Rightarrow (x+2)e^{-x} = 0 \quad || \quad \text{SVNP}{{/formula}}
13 {{formula}}\Rightarrow (x+2) = 0 \wedge e^{-x} = 0 \quad || \quad e^{-x} \neq 0{{/formula}}
Holger Engels 4.1 14 {{formula}}\Rightarrow x = -2{{/formula}}
15 )))
Holger Engels 5.1 16 1. (((Beschreibe das globale Verhalten und gib die Gleichung der Asymptoten an.
17 Dem Schaubild kann man folgendes entnehmen:
18 für {{formula}}x \rightarrow -\infty{{/formula}} gilt: {{formula}}f(x) \rightarrow -\infty{{/formula}}
19 für {{formula}}x \rightarrow \infty{{/formula}} gilt: {{formula}}f(x) \rightarrow 0+0{{/formula}}
Holger Engels 5.2 20
Holger Engels 5.1 21 Ohne Schaubild könnte man alternativ folgende Überlegungen anstellen, wobei die Faktoren zunächst separat betrachtet werden:
22 für {{formula}}x \rightarrow -\infty{{/formula}} gilt:
Holger Engels 5.2 23 {{formula}}(x+2) \rightarrow -\infty{{/formula}} linear und
24 {{formula}}e^{-x} \rightarrow +\infty{{/formula}} exponentiell
Holger Engels 5.1 25 ⊖·⊕=⊖
26 also geht das Produkt gegen {{formula}}-\infty{{/formula}}
27 für {{formula}}x \rightarrow \infty{{/formula}} gilt:
Holger Engels 5.2 28 {{formula}}(x+2) \rightarrow +\infty{{/formula}} linear und
29 {{formula}}e^{-x} \rightarrow 0+0{{/formula}} exponentiell
Holger Engels 5.1 30 ⊕·⊕=⊕
31 also geht das Produkt gegen {{formula}}0+0{{/formula}}
32 )))
Holger Engels 4.1 33