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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/05/27 13:21
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.martinawagner
1 +XWiki.fujan
Inhalt
... ... @@ -7,6 +7,7 @@
7 7  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 8  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9 9  
10 +{{lehrende}}
10 10  Aufgaben:
11 11  – Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
12 12  Lösen von Exponentialgleichungen:
... ... @@ -17,18 +17,47 @@
17 17  - Näherungslösungen
18 18  
19 19  Gleichungen:
20 -x+y = e --> y = e - x
21 -x*y = e --> y = e / x
22 -e^y = x --> y = ln(x)
21 +{{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 +{{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 +{{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 +{{/lehrende}}
23 23  
26 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
27 +Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
28 +(% class="abc" %)
29 +
30 +1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
31 +1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
32 +1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
33 +1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
34 +1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
35 +{{/aufgabe}}
36 +
37 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
38 +Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
39 +(% class="abc" %)
40 +1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
41 +1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
42 +1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
43 +{{/aufgabe}}
44 +
45 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
46 +Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
47 +(% class="abc" %)
48 +1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
49 +1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
50 +1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
51 +1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
52 +{{/aufgabe}}
53 +
24 24  {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
25 -Nenne jeweils eine passende Gleichung:
26 -
27 -Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich{{formula}} \ldots {{/formula}}
55 +Nenne jeweils eine passende Gleichung:
56 +
57 +Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
28 28  (% class="abc" %)
29 -1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
30 -1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
31 -1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
59 +1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
60 +1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
61 +1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
32 32  {{/aufgabe}}
33 33  
34 34  {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
... ... @@ -36,39 +36,26 @@
36 36  {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
37 37  {{/aufgabe}}
38 38  
39 -{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
69 +{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
40 40  Ordne zu:
41 -(% class="border slim " %)
71 +(% class="border slim" %)
42 42  |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
43 -|{{formula}} x^3 = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
73 +|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
44 44  |x|0|1|2|3
45 45  |y|1|2|4|8
46 46  )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
47 -|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
77 +|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
48 48  |x|0|1|2|3
49 49  |y|0|1|8|27
80 +)))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
81 +|{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
82 +|x|0|1|2|3
83 +|y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
50 50  )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
51 -
52 -(% class="abc" %)
53 -1. (((Gleichungen (implizite und explizite):
54 -1. {{formula}} x^3 = 8 {{/formula}}
55 -1. {{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}
56 -1. {{formula}} x = \sqrt[3]{8=} {{/formula}}
57 -1. {{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}}
58 -)))
59 -1. Wertetabellen:
60 -(((
85 +|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
61 61  |x|0|1|2|3
62 -|y|0|1|8|27
63 -)))
64 -
65 -(((
66 -|x|0|1|2|3
67 -|y|0|1|8|27
68 -)))
69 -1. zwei Graphen
70 -[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
71 -[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
87 +|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
88 +)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
72 72  {{/aufgabe}}
73 73  
74 74  {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
... ... @@ -93,59 +93,165 @@
93 93  Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
94 94  {{/aufgabe}}
95 95  
96 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen Lösbarkeit (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
97 -(% class="abc" %)
98 -Gegeben sind die beiden Gleichungen {{formula}} x^2 = a {{/formula}} und {{formula}} 2^x = a {{/formula}} für {{formula}} a \in \mathbb{R} {{/formula}}. Untersuche ihre Lösbarkeit in Abhängigkeit von {{formula}} a {{/formula}}.
99 -{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. {{/formula}}
113 +{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
114 +Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
115 +(%class="abc"%)
116 +1. (((
117 +(%class="border slim"%)
118 +|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
119 +
120 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
121 +⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
122 +
123 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
124 +🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
125 +
126 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
127 +⬋
128 +||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
129 +(((
130 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
131 +|
132 +
133 +
134 +)))
135 +
136 +{{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
137 +|(%align="center"%)(((⬋
138 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
139 +(((
140 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
141 +|
142 +
143 +
144 +)))
145 +)))|(%align="center"%)(((🠗
146 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
147 +(((
148 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
149 +|
150 +
151 +
152 +)))
153 +)))|(%align="center"%)(((⬊
154 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
155 +(((
156 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
157 +|
158 +
159 +
160 +)))
161 +)))
162 +)))
163 +1. (((
164 +(%class="border slim"%)
165 +|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
166 +
167 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
168 +⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
169 +
170 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
171 +🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
172 +
173 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
174 +⬋
175 +||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
176 +(((
177 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
178 +|
179 +
180 +
181 +)))
182 +
183 +{{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
184 +|(%align="center"%)(((⬋
185 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
186 +(((
187 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
188 +|
189 +
190 +
191 +)))
192 +)))|(%align="center"%)(((🠗
193 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
194 +(((
195 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
196 +|
197 +
198 +
199 +)))
200 +)))|(%align="center"%)(((⬊
201 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
202 +(((
203 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
204 +|
205 +
206 +
207 +)))
208 +)))
209 +)))
210 +1. (((
211 +(%class="border slim"%)
212 +|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
213 +
214 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
215 +⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
216 +
217 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
218 +🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
219 +
220 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
221 +⬋
222 +||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
223 +(((
224 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
225 +|
226 +
227 +
228 +)))
229 +
230 +{{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
231 +|(%align="center"%)(((⬋
232 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
233 +(((
234 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
235 +|
236 +
237 +
238 +)))
239 +)))|(%align="center"%)(((🠗
240 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
241 +(((
242 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
243 +|
244 +
245 +
246 +)))
247 +)))|(%align="center"%)(((⬊
248 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
249 +(((
250 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
251 +|
252 +
253 +
254 +)))
255 +)))
256 +)))
100 100  {{/aufgabe}}
101 101  
102 -
103 103  {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
104 104  Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
105 105  
106 106  (% class="border slim " %)
107 -|Typ 1 Umkehroperationen|Typ 2 Ausklammern|Typ 3 Substitution
263 +|Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
108 108  |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
109 -|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
265 +|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
110 110  |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
111 111  |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
112 112  {{/aufgabe}}
113 113  
114 -Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}
115 -(% class="abc" %)
116 -1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
117 -1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
118 -1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
119 -{{/aufgabe}}
120 120  
121 121  
122 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
123 -Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
124 -(% class="abc" %)
125 -1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
126 -1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
127 -1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
128 -1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
129 -1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
130 -{{/aufgabe}}
131 -
132 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
133 -Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
134 -(% class="abc" %)
135 -1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
136 -1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
137 -1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
138 -{{/aufgabe}}
139 -
140 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
141 -Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
142 -(% class="abc" %)
143 -1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
144 -1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
145 -1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
146 -1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
147 -{{/aufgabe}}
148 -
149 149  {{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
150 150  Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
151 151  (% class="abc" %)
2^-xund8.ggb
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