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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.elkehallmanngmxde
1 +XWiki.fujan
Inhalt
... ... @@ -7,6 +7,7 @@
7 7  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 8  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9 9  
10 +{{lehrende}}
10 10  Aufgaben:
11 11  – Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
12 12  Lösen von Exponentialgleichungen:
... ... @@ -17,47 +17,41 @@
17 17  - Näherungslösungen
18 18  
19 19  Gleichungen:
20 -x+y = e --> y = e - x
21 -x*y = e --> y = e / x
22 -e^y = x --> y = ln(x)
21 +{{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 +{{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 +{{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 +{{/lehrende}}
23 23  
24 -{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
25 -Nenne jeweils eine passende Gleichung:
26 -
27 -Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich{{formula}} \ldots {{/formula}}
26 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
27 +Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
28 28  (% class="abc" %)
29 -1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
30 -1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
31 -1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
29 +
30 +1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
31 +1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
32 +1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
33 +1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
34 +1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
32 32  {{/aufgabe}}
33 33  
34 -{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
35 -Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
36 -{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
37 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
38 +Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
39 +(% class="abc" %)
40 +1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
41 +1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
42 +1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
43 +1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
44 +1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
45 +
37 37  {{/aufgabe}}
38 38  
39 -{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
40 -Ordne zu:
41 -(% class="border slim " %)
42 -|Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
43 -|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
44 -|x|0|1|2|3
45 -|y|1|2|4|8
46 -)))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
47 -|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
48 -|x|0|1|2|3
49 -|y|0|1|8|27
50 -)))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
51 -|{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
52 -|x|0|1|2|3
53 -|y|0|1|8|27
54 -)))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
55 -|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
56 -|x|0|1|2|3
57 -|y|0|1|8|27
58 -)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
59 -
60 -
48 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
49 +Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
50 +(% class="abc" %)
51 +1. {{formula}} -x^{2}+2x-3=0 {{/formula}}
52 +1. {{formula}} -e^{2x}+2e^x-3=0 {{/formula}}
53 +1. {{formula}} e^x+2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
54 +1. {{formula}} e^x-2-\frac{15}{e^x}}=0 {{/formula}}
55 +1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
61 61  {{/aufgabe}}
62 62  
63 63  {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
... ... @@ -77,82 +77,206 @@
77 77  1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
78 78  {{/aufgabe}}
79 79  
80 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
75 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
81 81  (% class="abc" %)
82 -Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
77 +Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
83 83  {{/aufgabe}}
84 84  
85 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen Lösbarkeit (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
80 +{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
81 +Nenne jeweils eine passende Gleichung:
82 +
83 +Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
86 86  (% class="abc" %)
87 -Gegeben sind die beiden Gleichungen {{formula}} x^2 = a {{/formula}} und {{formula}} 2^x = a {{/formula}} für {{formula}} a \in \mathbb{R} {{/formula}}. Untersuche ihre Lösbarkeit in Abhängigkeit von {{formula}} a {{/formula}}.
88 -{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. {{/formula}}
85 +1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
86 +1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
87 +1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
89 89  {{/aufgabe}}
90 90  
91 91  
92 -{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
93 -Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
94 -
95 -(% class="border slim " %)
96 -|Typ 1 Umkehroperationen|Typ 2 Ausklammern|Typ 3 Substitution
97 -|{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
98 -|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
99 -|{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
100 -|{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
91 +{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
92 +Ordne zu:
93 +(% class="border slim" %)
94 +|Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
95 +|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
96 +|x|0|1|2|3
97 +|y|1|2|4|8
98 +)))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
99 +|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
100 +|x|0|1|2|3
101 +|y|0|1|8|27
102 +)))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
103 +|{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
104 +|x|0|1|2|3
105 +|y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
106 +)))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
107 +|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
108 +|x|0|1|2|3
109 +|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
110 +)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
101 101  {{/aufgabe}}
102 102  
103 -Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}
104 -(% class="abc" %)
105 -1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
106 -1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
107 -1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
108 -{{/aufgabe}}
109 109  
110 110  
111 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
112 -Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
113 -(% class="abc" %)
114 -1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
115 -1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
116 -1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
117 -1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
118 -1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
115 +{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
116 +Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
117 +(%class="abc"%)
118 +1. (((
119 +(%class="border slim"%)
120 +|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
121 +
122 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
123 +⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
124 +
125 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
126 +🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
127 +
128 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
129 +⬋
130 +||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
131 +(((
132 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
133 +|
134 +
135 +
136 +)))
137 +
138 +{{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
139 +|(%align="center"%)(((⬋
140 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
141 +(((
142 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
143 +|
144 +
145 +
146 +)))
147 +)))|(%align="center"%)(((🠗
148 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
149 +(((
150 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
151 +|
152 +
153 +
154 +)))
155 +)))|(%align="center"%)(((⬊
156 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
157 +(((
158 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
159 +|
160 +
161 +
162 +)))
163 +)))
164 +)))
165 +1. (((
166 +(%class="border slim"%)
167 +|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
168 +
169 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
170 +⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
171 +
172 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
173 +🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
174 +
175 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
176 +⬋
177 +||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
178 +(((
179 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
180 +|
181 +
182 +
183 +)))
184 +
185 +{{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
186 +|(%align="center"%)(((⬋
187 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
188 +(((
189 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
190 +|
191 +
192 +
193 +)))
194 +)))|(%align="center"%)(((🠗
195 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
196 +(((
197 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
198 +|
199 +
200 +
201 +)))
202 +)))|(%align="center"%)(((⬊
203 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
204 +(((
205 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
206 +|
207 +
208 +
209 +)))
210 +)))
211 +)))
212 +1. (((
213 +(%class="border slim"%)
214 +|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
215 +
216 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
217 +⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
218 +
219 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
220 +🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
221 +
222 +{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
223 +⬋
224 +||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
225 +(((
226 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
227 +|
228 +
229 +
230 +)))
231 +
232 +{{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
233 +|(%align="center"%)(((⬋
234 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
235 +(((
236 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
237 +|
238 +
239 +
240 +)))
241 +)))|(%align="center"%)(((🠗
242 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
243 +(((
244 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
245 +|
246 +
247 +
248 +)))
249 +)))|(%align="center"%)(((⬊
250 +{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
251 +(((
252 +(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
253 +|
254 +
255 +
256 +)))
257 +)))
258 +)))
119 119  {{/aufgabe}}
120 120  
121 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
122 -Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
123 -(% class="abc" %)
124 -1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
125 -1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
126 -1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
127 -{{/aufgabe}}
261 +{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
262 +Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
128 128  
129 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
130 -Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
131 -(% class="abc" %)
132 -1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
133 -1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
134 -1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
135 -1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
264 +(% class="border slim " %)
265 +|Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
266 +|{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
267 +|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
268 +|{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
269 +|{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
136 136  {{/aufgabe}}
137 137  
138 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
139 -Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
140 -(% class="abc" %)
141 -1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
142 -1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
143 -1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
144 -1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
272 +{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
273 +Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
274 +{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
145 145  {{/aufgabe}}
146 146  
147 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
148 -Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
149 -(% class="abc" %)
150 -1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
151 -1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
152 -1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
153 -1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
154 -
155 -[[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
156 -{{/aufgabe}}
157 -
158 158  {{seitenreflexion/}}
2^-xund8.ggb
Author
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BPE 4.5 A Gleichungen Gemeinsamer Form.pdf
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