BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen

{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}

25

Nenne jeweils eine passende Gleichung:

26

27

Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich{{formula}} \ldots {{/formula}}

28

(% class="abc" %)

29

1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.

30

1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.

31

1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.

32

33

34

{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}

35

Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:

36

{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}

37

38

39

{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}

40

Ordne zu:

41

(% class="border slim " %)

42

|Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder

43

|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((

44

|x|0|1|2|3

45

|y|1|2|4|8

46

)))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]

47

|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((

48

|x|0|1|2|3

49

|y|0|1|8|27

50

)))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]

51

|{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((

52

|x|0|1|2|3

53

|y|0|1|8|27

54

)))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]

55

|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((

56

|x|0|1|2|3

57

|y|0|1|8|27

58

)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]

{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}

64

Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.

65

66

[[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]

67

68

(% class="abc" %)

69

1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}

70

1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}

71

1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}

72

1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}

73

1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}

74

1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}

75

1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}

76

1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}

77

1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}

78

79

80

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}

81

(% class="abc" %)

82

Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.

83

84

85

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen Lösbarkeit (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}

86

(% class="abc" %)

87

Gegeben sind die beiden Gleichungen {{formula}} x^2 = a {{/formula}} und {{formula}} 2^x = a {{/formula}} für {{formula}} a \in \mathbb{R} {{/formula}}. Untersuche ihre Lösbarkeit in Abhängigkeit von {{formula}} a {{/formula}}.

88

{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. {{/formula}}

{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}

93

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:

94

95

(% class="border slim " %)

96

|Typ 1 Umkehroperationen|Typ 2 Ausklammern|Typ 3 Substitution

97

|{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}

98

|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}

99

|{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}

100

|{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}

101

102

103

Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}

104

(% class="abc" %)

105

1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.

106

1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.

107

1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}

112

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:

113

(% class="abc" %)

114

1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}

115

1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}

116

1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}

117

1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}

118

1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}

119

120

121

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}

122

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

123

(% class="abc" %)

124

1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}

125

1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}

126

1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}

127

128

129

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}

130

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

131

(% class="abc" %)

132

1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}

133

1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}

134

1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}

135

1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}

136

137

138

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}

139

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen

140

(% class="abc" %)

141

1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}

142

1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}

143

1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}

144

1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}

145

146

147

{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}

148

Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.

149

(% class="abc" %)

150

1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}

151

1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}

152

1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}

153

1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}

154

155

[[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]

156

157

158

Wiki-Quellcode von BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen

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author	version	line-number	content
		1	{{seiteninhalt/}}
		2
		3	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
		4	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
		5	[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
		6	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
		7	[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
		8	[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
		9
		10	Aufgaben:
		11	– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
		12	Lösen von Exponentialgleichungen:
		13	– Vokabelheft für Umkehroperationen
		14	– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
		15	– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
		16	– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
		17	- Näherungslösungen
		18
		19	Gleichungen:
		20	x+y = e --> y = e - x
		21	x*y = e --> y = e / x
		22	e^y = x --> y = ln(x)
		23
		24	{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		25	Nenne jeweils eine passende Gleichung:
		26
		27	Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich{{formula}} \ldots {{/formula}}
		28	(% class="abc" %)
		29	1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
		30	1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
		31	1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
		32	{{/aufgabe}}
		33
		34	{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
		35	Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
		36	{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
		37	{{/aufgabe}}
		38
		39	{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		40	Ordne zu:
		41	(% class="border slim " %)
		42	\|Implizite Gleichungen\|Explizite Gleichungen\|Wertetabellen\|Schaubilder
		43	\|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}\|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}\|(((
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		63	{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
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		67
		68	(% class="abc" %)
		69	1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
		70	1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
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		81	(% class="abc" %)
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		94
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		96	\|Typ 1 Umkehroperationen\|Typ 2 Ausklammern\|Typ 3 Substitution
		97	\|{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}\|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}\|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
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		103	Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}
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		105	1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
		106	1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
		107	1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
		108	{{/aufgabe}}
		109
		110
		111	{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
		112	Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
		113	(% class="abc" %)
		114	1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
		115	1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
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		120
		121	{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
		122	Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
		123	(% class="abc" %)
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		125	1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
		126	1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
		127	{{/aufgabe}}
		128
		129	{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
		130	Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
		131	(% class="abc" %)
		132	1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
		133	1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
		134	1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
		135	1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
		136	{{/aufgabe}}
		137
		138	{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		139	Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
		140	(% class="abc" %)
		141	1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
		142	1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
		143	1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
		144	1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
		145	{{/aufgabe}}
		146
		147	{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		148	Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
		149	(% class="abc" %)
		150	1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
		151	1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
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		157
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unfertig	fertig
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