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Version 136.1 von Kim Fujan am 2025/05/20 10:29
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 {{lehrende}}
11 Aufgaben:
12 – Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
13 Lösen von Exponentialgleichungen:
14 – Vokabelheft für Umkehroperationen
15 – Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
16 – Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
17 – Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
18 - Näherungslösungen
19
20 Gleichungen:
21 {{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 {{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 {{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 {{/lehrende}}
25
26 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
27 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
28 (% class="abc" %)
29
30 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
31 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
32 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
33 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
34 1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
35 {{/aufgabe}}
36
37 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
38 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
39 (% class="abc" %)
40 1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
41 1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
42 1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
43 1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
44 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
45
46 {{/aufgabe}}
47
48 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
49 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
50 (% class="abc" %)
51 1. {{formula}} -x^{2}+2x-3=0 {{/formula}}
52 1. {{formula}} -e^{2x}+2e^x-3=0 {{/formula}}
53 1. {{formula}} e^x+2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
54 1. {{formula}} e^x-2-\frac{15}{e^x}}=0 {{/formula}}
55 1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
56 {{/aufgabe}}
57
58 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
59 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
60
61 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
62
63 (% class="abc" %)
64 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
65 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
66 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
67 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
68 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
69 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
70 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
71 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
72 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
73 {{/aufgabe}}
74
75 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
76 (% class="abc" %)
77 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
78 {{/aufgabe}}
79
80 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
81 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
82
83 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
84 (% class="abc" %)
85 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
86 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
87 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
88 {{/aufgabe}}
89
90 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
91 Ordne zu:
92 (% class="border slim" %)
93 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
94 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|(((
95 |x|0|1|2|3
96 |y|1|2|4|8
97 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
98 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
99 |x|0|1|2|3
100 |y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
101 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
102 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
103 |x|0|1|2|3
104 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
105 )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
106 {{/aufgabe}}
107
108 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
109 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
110 (%class="abc"%)
111 1. (((
112 (%class="border slim"%)
113 |(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
114
115 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
116 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
117
118 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
119 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
120
121 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
122 ⬋
123 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
124 (((
125 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
126 |
127
128
129 )))
130
131 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
132 |(%align="center"%)(((⬋
133 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
134 (((
135 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
136 |
137
138
139 )))
140 )))|(%align="center"%)(((🠗
141 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
142 (((
143 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
144 |
145
146
147 )))
148 )))|(%align="center"%)(((⬊
149 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
150 (((
151 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
152 |
153
154
155 )))
156 )))
157 )))
158 1. (((
159 (%class="border slim"%)
160 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
161
162 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
163 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
164
165 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
166 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
167
168 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
169 ⬋
170 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
171 (((
172 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
173 |
174
175
176 )))
177
178 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
179 |(%align="center"%)(((⬋
180 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
181 (((
182 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
183 |
184
185
186 )))
187 )))|(%align="center"%)(((🠗
188 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
189 (((
190 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
191 |
192
193
194 )))
195 )))|(%align="center"%)(((⬊
196 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
197 (((
198 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
199 |
200
201
202 )))
203 )))
204 )))
205 1. (((
206 (%class="border slim"%)
207 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
208
209 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
210 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
211
212 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
213 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
214
215 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
216 ⬋
217 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
218 (((
219 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
220 |
221
222
223 )))
224
225 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
226 |(%align="center"%)(((⬋
227 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
228 (((
229 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
230 |
231
232
233 )))
234 )))|(%align="center"%)(((🠗
235 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
236 (((
237 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
238 |
239
240
241 )))
242 )))|(%align="center"%)(((⬊
243 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
244 (((
245 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
246 |
247
248
249 )))
250 )))
251 )))
252 {{/aufgabe}}
253
254 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
255 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
256
257 (% class="border slim " %)
258 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
259 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
260 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
261 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
262 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
263 {{/aufgabe}}
264
265 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
266 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
267 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
268 {{/aufgabe}}
269
270 {{seitenreflexion/}}