BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen

Version 143.1 von Martina Wagner am 2025/05/20 12:02

Inhalt

AFB I Exponentialgleichungen (Logarithmieren) Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt) Exponentialgleichungen (Substitution)
AFB II Logarithmen auswerten Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch) Gleichungen aufstellen I Darstellungen zuordnen Exponentialgleichungen Rückwärts lösen
AFB III Gleichungen gemeinsamer Form Gleichungstypen einstudieren Gleichungen aufstellen II

K5 Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
K5 Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
K1 Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
K5 Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
K4 K6 Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
K4 K6 Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren

Aufgabe 1 Exponentialgleichungen (Logarithmieren) 𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:

$2e^{-0.5x}=6$
$4\cdot 5^x=100$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt) 𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

$2x-x^{2}=0$
$2e^x-e^{2x}=0$
$\frac{1}{3}e^x=e^{2x}$
$3e^{-x}=2e^{2x}$
$2x^e=x^{2e}$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 12 min
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Aufgabe 3 Exponentialgleichungen (Substitution) 𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

$-x^{2}+2x-3=0$
$-e^{2x}+2e^x-3=0$
$e^x+2e^{\frac{1}{2}x}-3=0$
$e^x-2-\frac{15}{e^x}}=0$
$2e^{4x}=e^{2x}+3$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 12 min
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Aufgabe 4 Logarithmen auswerten 𝕃

Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.

$\log_{10}(0.1)$
$\log_{100}(0.1)$
$\log_{0.1}(0.1)$
$\log_{10}(1000)$
$\log_{10}(50)$
$\log_{0.1}(1000)$
$\log_{10}(1)$
$\log_{100}(10)$
$\log_{10}(10)$

AFB II	Kompetenzen K4 K5	Bearbeitungszeit 10 min
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Aufgabe 5 Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch) 𝕃

Ermittle die Lösung der Gleichung e^x = 5 graphisch und rechnerisch.

AFB II	Kompetenzen K4 K5	Bearbeitungszeit 5 min
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Aufgabe 6 Gleichungen aufstellen I

Nenne jeweils eine passende Gleichung:

Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …

… die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung $x = \frac{2}{5}$ erhalte.
… von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung $x = \sqrt[5]{2}$ erhalte.
… die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung $x = \log_5(2)$ erhalte.

AFB II	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 5 min
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Aufgabe 7 Darstellungen zuordnen 𝕃

Ordne zu:

Implizite Gleichungen

Explizite Gleichungen

Wertetabellen

Schaubilder

$x^{-3} = 8$

$x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}}$

x	0	1	2	3
y	1	2	4	8

$x = -\log_{2}(8)$

x	0	1	2	3
y	n.d.	1	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{27}$

$2^{-x} = 8$

$x = \log_{2}(8)$

x	0	1	2	3
y	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

AFB II	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 6 min
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Aufgabe 8 Gleichungen gemeinsamer Form 𝕃

Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.

$e^{2x}-4e^x+3=0$

$u:=\_\_\_$
⬊ $x^{2e}-4x^e+3=0$

$u:=\_\_\_$
🠗 $x^{-2}-4x^{-1}+3=0$

$u:=\_\_\_$
⬋



$u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_$
⬋
$\_\_\_:=u$


🠗
$\_\_\_:=u$


⬊
$\_\_\_:=u$
$x^{-2}-3x^{-1}=0$

$u:=\_\_\_$
⬊ $x^{2e}-3x^e=0$

$u:=\_\_\_$
🠗 $e^{2x}-3e^x=0$

$u:=\_\_\_$
⬋



$u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_$
⬋
$\_\_\_:=u$


🠗
$\_\_\_:=u$


⬊
$\_\_\_:=u$
$x^{-2}-2x^{-1}+3=0$

$u:=\_\_\_$
⬊ $x^{2e}-2x^e+3=0$

$u:=\_\_\_$
🠗 $e^{2x}-2e^x+3=0$

$u:=\_\_\_$
⬋



$u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_$
⬋
$\_\_\_:=u$


🠗
$\_\_\_:=u$


⬊
$\_\_\_:=u$

AFB III	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 6 min
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Aufgabe 9 Gleichungstypen einstudieren 𝕃

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:

Typ 1 (Umkehroperationen)	Typ 2 (Ausklammern)	Typ 3 (Substitution)

	$2x^e = x^{2e}$	$x^{2e}+x^e+1 = 0$
	$2e^x = e^{2x}$	$10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0$
$3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}$	$x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0$	$3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}$

AFB III	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 20 min
Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 10 Exponentialgleichungen Rückwärts lösen

```
 
```
$\begin{align*} \square e^x-\square &= 0\\ \square e^x &=\square\quad \left|:\square\\ e^x &= \square \\ x &= 0 \end{align*}$
$\begin{align*} e^{2x}-\square e^x &= 0 \\ e^x(\square-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP } \end{align*}$
$\ e^x \neq 0 ~und~ e^x-\square = 0$
$\Rightarrow x =\square$

$\begin{align*} x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\ z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } & \end{align*}$
$\begin{align*} \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\ z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square} \end{align*}$
$\begin{align*} &\text{Resubst.: } \square := x^2\\ &x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\ &x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2 \end{align*}$
AFB II Kompetenzen K2 K5 Bearbeitungszeit k.A.
Quelle Martina Wagner Lizenz BY-SA

Aufgabe 11 Gleichungen aufstellen II

Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei $a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\}$ gelten soll:
$c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:.$

AFB III	Kompetenzen K2 K5	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Martin Rathgeb, Dirk Tebbe		Lizenz CC BY-SA

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

	K2	K4	K5
I	0	0	3
II	1	2	5
III	1	0	3

Bearbeitungszeit gesamt: 101 min

Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst