Zum Inhalt springen
Version 176.2 von Holger Engels am 2025/05/26 19:53
Zeige letzte Bearbeiter
1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
11 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
12 (% class="abc" %)
13
14 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
15 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
16 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
17 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
18 1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
19 {{/aufgabe}}
20
21 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
22 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
23 (% class="abc" %)
24 1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
25 1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
26 1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
27 1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
28 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
29 {{/aufgabe}}
30
31 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
32 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
33 (% class="abc" %)
34 1. {{formula}} x^{2}-2x-3=0 {{/formula}}
35 1. {{formula}} e^{2x}-2e^x-3=0 {{/formula}}
36 1. {{formula}} e^x-2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
37 1. {{formula}} e^x-2-\frac{8}{e^x}}=0 {{/formula}}
38 1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
39 {{/aufgabe}}
40
41 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="III" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
42 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
43
44 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
45
46 (% class="abc" %)
47 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
48 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
49 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
50 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
51 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
52 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
53 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
54 {{/aufgabe}}
55
56 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
57 (% class="abc" %)
58 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
59 {{/aufgabe}}
60
61 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
62 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
63
64 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
65 (% class="abc" %)
66 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
67 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
68 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
69 {{/aufgabe}}
70
71 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
72 Ordne zu:
73 (% class="border slim" %)
74 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
75 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|(((
76 |x|0|1|2|3
77 |y|1|2|4|8
78 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
79 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
80 |x|0|1|2|3
81 |y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
82 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
83 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
84 |x|0|1|2|3
85 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
86 )))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
87 {{/aufgabe}}
88
89 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
90 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
91 (%class="abc"%)
92 1. (((
93 (%class="border slim"%)
94 |(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
95
96 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
97 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
98
99 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
100 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
101
102 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
103 ⬋
104 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
105 (((
106 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
107 |
108
109
110 )))
111
112 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
113 |(%align="center"%)(((⬋
114 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
115 (((
116 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
117 |
118
119
120 )))
121 )))|(%align="center"%)(((🠗
122 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
123 (((
124 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
125 |
126
127
128 )))
129 )))|(%align="center"%)(((⬊
130 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
131 (((
132 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
133 |
134
135
136 )))
137 )))
138 )))
139 1. (((
140 (%class="border slim"%)
141 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
142
143 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
144 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
145
146 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
147 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
148
149 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
150 ⬋
151 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
152 (((
153 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
154 |
155
156
157 )))
158
159 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
160 |(%align="center"%)(((⬋
161 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
162 (((
163 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
164 |
165
166
167 )))
168 )))|(%align="center"%)(((🠗
169 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
170 (((
171 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
172 |
173
174
175 )))
176 )))|(%align="center"%)(((⬊
177 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
178 (((
179 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
180 |
181
182
183 )))
184 )))
185 )))
186 1. (((
187 (%class="border slim"%)
188 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
189
190 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
191 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
192
193 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
194 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
195
196 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
197 ⬋
198 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
199 (((
200 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
201 |
202
203
204 )))
205
206 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
207 |(%align="center"%)(((⬋
208 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
209 (((
210 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
211 |
212
213
214 )))
215 )))|(%align="center"%)(((🠗
216 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
217 (((
218 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
219 |
220
221
222 )))
223 )))|(%align="center"%)(((⬊
224 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
225 (((
226 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
227 |
228
229
230 )))
231 )))
232 )))
233 {{/aufgabe}}
234
235 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
236 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
237
238 (% class="border slim " %)
239 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
240 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
241 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
242 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
243 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
244 {{/aufgabe}}
245
246 {{aufgabe id=" Exponentialgleichungen rückwärts lösen" afb="II" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
247 (% class="abc" %)
248 1. ((({{{ }}}
249
250 {{formula}}
251 \begin{align*}
252 \square e^x-2 &= 0\\
253 \square e^x &=\square\quad \left|:\square\\
254 e^x &= \square \\
255 x &= 0
256 \end{align*}
257 {{/formula}}
258 )))
259 1. ((({{{ }}}
260
261 {{formula}}
262 \begin{align*}
263 e^{2x}-\square e^x &= 0 \\
264 e^x \cdot (\square-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
265 \end{align*}
266 {{/formula}}
267
268 {{formula}}
269 e^x \neq 0 ~und~ e^x-\square = 0{{/formula}}
270 {{formula}} e^x=\square {{/formula}}
271 {{formula}} x =\square {{/formula}}
272 )))
273 1. ((({{{ }}}
274
275 {{formula}}
276 \begin{align*}
277 e^{2x}-\square e^x+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } e^x:=\square\\
278 z^2-\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
279 \end{align*}
280 {{/formula}}
281
282 {{formula}}
283 \begin{align*}
284 \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
285 z_{1,2}&=\frac{\square+\square}{\square}
286 \end{align*}
287 {{/formula}}
288
289 {{formula}}
290 \begin{align*}
291 &\text{Resubst.: } z:= e^x\\
292 &e^x=\square \Rightarrow x \approx 0,693147...\\
293 \end{align*}
294 {{/formula}}
295 )))
296 {{/aufgabe}}
297
298 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
299 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
300 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. {{/formula}}
301 {{/aufgabe}}
302
303 {{lehrende}}
304 K3 wird in BPE 4.6 behandelt
305 {{/lehrende}}
306
307 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5" /}}