BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen

1  Exponentialgleichungen lösen (Fehlvorstellungen)  (5 min)

Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich \( \ldots \)

1. \( \ldots \) die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung \( x = \frac{2}{5} \) erhalte.
2. \( \ldots \) von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung \( x = \sqrt[5]{2} \) erhalte.
3. \( \ldots \) die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung \( x = \log_5(2) \) erhalte.

2  Gleichungsformen instantiieren  (5 min)

Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei \( a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} \) gelten soll:
\( c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. \)

3  Darstellungen zuordnen  (5 min) 𝕃

Ordne zu!

1. vier Gleichungen
2. zwei Tabellen
3. zwei Graphen

4  Logarithmen auswerten  (10 min) 𝕋  𝕃

Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.

1. \( \log_{10}(10) \)
2. \( \log_{100}(10) \)
3. \( \log_{11}(10) \)
4. \( \log_{10}(1000) \)
5. \( \log_{10}(50) \)
6. \( \log_{11}(1000) \)
7. \( \log_{10}(1) \)
8. \( \log_{100}(10) \)
9. \( \log_{10}(10) \)

5  Exponentialgleichungen lösen (graphisch vs rechnerisch)  (5 min)

Ermittle die Lösung der Gleichung \( 2^x = 5 \) graphisch und rechnerisch.

6  Exponentialgleichungen Lösbarkeit (graphisch vs rechnerisch)  (6 min)

Gegeben sind die beiden Gleichungen \( x^2 = a \) und \( 2^x = a \) für \( a \in \mathbb{R} \). Untersuche ihre Lösbarkeit in Abhängigkeit von \( a \).
\( c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. \)

7  Exponentialgleichungen (Logarithmieren)  (15 min) 𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:

1. \( 4\cdot 0,5^x=100 \)
2. \( e^x=3 \)
3. \( 2e^x-4=8 \)
4. \( 2e^{-0.5x}=6\)
5. \( e^x=-5 \)

8  Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)  (12 min)

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

1. \( 2x=x^{2} \)
2. \( 2x^e=x^{2e} \)
3. \( 2e^x=e^{2x} \)

9  Exponentialgleichungen (Substitution)  (12 min) 𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

1. \( 2x-3=x^{2} \)
2. \( 2x^e-3=x^{2e} \)
3. \( 2e^x-3=e^{2x} \)
4. \( 2e^{x-3}=e^{2x-3} \)

10  Exponentialgleichungen  (5 min)

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen

1. \( 3^{x+1}=81 \)
2. \( 5^{2x}=25^{2x+2} \)
3. \( 10^{x}=500\)
4. \( 2^{x+3}=4^{x-1} \)

11  Exponentialgleichungen graphisch  (5 min)

Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.

1. \( 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 \)
2. \( 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 \)
3. \( 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 \)
4. \( 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x \)