Version 119.2 von Holger Engels am 2025/05/26 14:39

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VBS 8.1 1 {{seiteninhalt/}}
holger 1.1 2
martina 6.1 3 [[Kompetenzen.K1.WebHome]] Ich kann den Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum erläutern
4 [[Kompetenzen.K3.WebHome]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Wachstumsprozesse mithilfe von Exponentialfunktionen modellieren
5 [[Kompetenzen.K3.WebHome]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Zerfallsprozesse mithilfe von Exponentialfunktionen modellieren
6 [[Kompetenzen.K6.WebHome]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Parameter eines Funktionsterms in der Form {{formula}}f(x) = ae^{kx} + d{{/formula}} oder {{formula}}f(x) = ab^x + d{{/formula}} im Sachzusammenhang deuten
VBS 4.1 7
Martina Wagner 36.1 8 {{lehrende}}
Martina Wagner 34.1 9 Unterschied Lineares und Exponentielles Wachstum
Martina Wagner 37.1 10
11 Vermittlung des "Gefühls" für lineares und exponentielles Wachstum: Reihen von Fotos mit linearem bzw. exponentiellem Wachstums- bzw Zerfallsvorgänge
Holger Engels 115.2 12
Martina Wagner 34.1 13 Modellierung von Wachstums-und Zerfallsprozessen (experimentell Schokolinsen, Gummibärchen, Würfel)
Martina Wagner 39.1 14 Klärung der Begriffe Anfangsbestand, Wachstumsfaktor, Halbwertszeit, Verdopplungszeit, ...
Holger Engels 115.2 15
Martina Wagner 35.1 16 Anwendungen aus der Realität (radioaktives Jod, Zerfall von Medikamenten, Geld,....)
Martina Wagner 36.1 17 {{/lehrende}}
Martina Wagner 37.1 18
Holger Engels 10.1 19 == Lineares vs exponentielles Wachstum ==
Holger Engels 9.1 20
Holger Engels 11.1 21 {{lernende}}
22 [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/A33wcCSZ]]
23 [[KMap Aufgaben>>https://kmap.eu/app/test/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall]]
24 {{/lernende}}
25
Thomas Köhler 51.1 26 {{aufgabe id="Wachstum Schokolinsen" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
Stephanie Wietzorek 78.1 27 Eine 250g Packung Schokolinsen soll nach folgendem Schema an eine Klasse verteilt werden:
Thomas Köhler 71.1 28
Holger Engels 112.1 29 [[image:Linsen_1_neu.png||width="400"]]
Thomas Köhler 71.1 30
Holger Engels 112.1 31 [[image:linsen_krug.png||style="float: right" width="200"]](%class="abc"%)
Stephanie Wietzorek 69.1 32 1. Ermittle, wie viele Linsen Schüler 3 und Schüler 6 bekommen.
Stephanie Wietzorek 78.1 33 1. In der Packung befinden sich 270 Linsen.
Thomas Köhler 48.2 34 Bestimme, wie groß die Klasse sein darf, so dass jeder Schüler Linsen bekommt.
Thomas Köhler 67.1 35 1. Eine Klasse hat 30 Schüler. Gib ein zweites Schema an, so dass jeder Schüler gleich viele Linsen erhält.
Stephanie Wietzorek 79.1 36 1. In dem Behälter befinden sich die Schokolinsen für Schüler 10.
Stephanie Wietzorek 78.1 37 Gib einen Schätzwert für die Anzahl an Linsen für Schüler 10 an.
38 Ermittle einen Term, wie man die Zahl der Linsen für Schüler 10 berechnen kann.
Thomas Köhler 48.1 39 1. Bestimme einen Funktionsterm, mit dem du die Anzahl der Linsen für den Schüler an x. - ter Stelle berechnen kannst.
Thomas Köhler 40.1 40 {{/aufgabe}}
41
Thomas Köhler 74.1 42 {{aufgabe id="Würfelzerfall" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
Thomas Köhler 98.1 43 In einem Würfelbecher befinden sich 30 Würfel. Es werden alle Würfel gleichzeitig geworfen. Wenn ein Würfel das Sternsymbol anzeigt, wird er aussortiert. Untenstehend ist das Ergebnis einer Zerfallsreihe zu sehen.
Thomas Köhler 74.1 44
Holger Engels 112.1 45 [[image:wuerfel_tabelle_1.png||style="width:min(100%, 600px)"]]
46 [[image:wuerfel_tabelle_2.png||style="width:min(100%, 600px)"]]
47 [[image:wuerfel_tabelle_3.png||style="width:min(100%, 600px)"]]
48 (%class="abc"%)
Thomas Köhler 103.2 49 1. Trage die Anzahl der verbleibenden Würfel nach jedem Wurf in die [[Tabelle>>attach:Würfelwurf.pdf]] ein.
Holger Engels 119.2 50 1. Im Schnitt reduziert sich die Würfelmenge bei jedem Wurf um {{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}}. Gib eine Funktionsgleichung an, welche die Anzahl der verbleibenden Würfel nach jedem Wurf angibt. Beurteile, inwieweit deine Lösung mit den gemessenen Werten übereinstimmt.
Thomas Köhler 74.1 51 {{/aufgabe}}
52
Thomas Köhler 52.1 53 {{aufgabe id="Wachstum mit Wertetabelle" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
Holger Engels 112.1 54 Gegeben ist folgende Wertetabelle für einen Wachstumsvorgang, {{formula}}x{{/formula}} wird in Stunden angegeben, {{formula}}f(x){{/formula}} gibt den Bestand zum jeweiligen Zeitpunkt {{formula}}x{{/formula}} an.
Thomas Köhler 52.1 55
Thomas Köhler 58.1 56 (% class="border" %)
Thomas Köhler 56.1 57 |= {{formula}}x{{/formula}} |0|1|2|3|4
58 |= {{formula}}f(x){{/formula}} | | |48||768
Thomas Köhler 52.1 59
Holger Engels 112.1 60 (%class="abc"%)
Thomas Köhler 53.1 61 1. Die Wertetabelle kann ein lineares Wachstum beschreiben.
Holger Engels 112.1 62 Bestimme die fehlenden Werte in der Wertetabelle.
Thomas Köhler 67.2 63 Ermittle eine passende Funktionsgleichung.
Thomas Köhler 53.1 64 1. Die Wertetabelle kann auch exponentielles Wachstum beschreiben.
Thomas Köhler 67.2 65 Bestimme eine Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=a\cdot q^x {{/formula}}
Thomas Köhler 60.1 66 1. Zeige, dass {{formula}}f(x)=3\cdot e^{1,3863x} {{/formula}} ebenfalls zur Wertetabelle passt.
Thomas Köhler 59.1 67 1. Gib an, nach welcher Zeit sich der Anfangsbestand verdoppelt.
Thomas Köhler 52.1 68 {{/aufgabe}}
69
Stephanie Wietzorek 108.1 70 {{aufgabe id="Abkühlprozesse" afb="I" kompetenzen="" quelle=" Stephanie " cc="BY-SA" niveau=""}}
Stephanie Wietzorek 110.2 71 Die Temperatur eines Getränks {{formula}}T(t){{/formula}} nach einer Zeit {{formula}}t{{/formula}} in Minuten kann mit folgender Formel {{formula}}T(t)=T_U+(T_0-T_U)\cdot e^{-kt}{{/formula}} ermittelt werden. Dabei bezeichnet {{formula}}T_U{{/formula}} die Umgebungstemperatur, {{formula}}T_0{{/formula}} die Anfangstemperatur und {{formula}}k{{/formula}} die Abkühlrate.
Stephanie Wietzorek 108.2 72 {{formula}}T_U{{/formula}} soll 20°C betragen.
73 Der Abkühlprozess von Tee wird in verschiedenen Gefäßen aus verschiedenen Materialien untersucht. In einer Keramiktasse kann die Temperatur {{formula}}T(t){{/formula}} nach {{formula}}t{{/formula}} Minuten durch die Funktionsgleichung {{formula}}T(t)=20+70\cdot e^{-0,1t}{{/formula}} berechnet werden.
Thomas Köhler 61.1 74
Holger Engels 112.1 75 (%class="abc"%)
76 1. Welche Anfangstemperatur hat der Tee?
Dirk Tebbe 116.3 77 1. Wird der Tee mit der selben Anfangstemperatur in einen Thermobecher bzw. in ein Gefäß aus Glas geschüttet, verläuft der Abkühlprozess anders. Erläutere, wie der Parameter k in der Funktionsgleichung {{formula}}T(t)=T_U+(T_0-T_U)\cdot e^{-kt}{{/formula}} geändert werden muss, wenn der Tee in einen Thermobecher gefüllt wird.
Dirk Tebbe 116.2 78 1. Wie lang muss der Tee abkühlen, bis er die Trinktemperatur von 60° erreicht hat?
Holger Engels 112.1 79 1. Idee: evtl noch Schaubilder zuordnen lassen mit k=0,05 (Thermobecher) und k = 0,15 (Glas)
Thomas Köhler 61.1 80 {{/aufgabe}}
81
Holger Engels 115.2 82 {{aufgabe id="Linear oder exponentiell" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall]]" cc="BY-SA"}}
VBS 4.1 83 Ordne zu!
84
85 (% style="width: auto" %)
86 |(((
87 Eine Kerze brennt ab
VBS 8.1 88
VBS 4.1 89 Die Lichtintensität im Wasser nimmt mit der Tiefe ab
VBS 8.1 90
VBS 4.1 91 Auf ein Sparkonto werden jeden Monat 100€ eingezahlt
VBS 8.1 92
VBS 4.1 93 Aufladen eines Akkus
VBS 8.1 94
VBS 4.1 95 Kaffee kühlt ab
VBS 8.1 96
VBS 4.1 97 Verbreitung eines Gerüchts
98 )))|(((
Martin Stern 118.1 99 Beschränkte Abnahme
VBS 8.1 100
Martin Stern 118.1 101 Exponentielle Abnahme
VBS 8.1 102
VBS 4.1 103 Exponentielles Wachstum
VBS 8.1 104
VBS 4.1 105 Lineares Wachstum
VBS 8.1 106
VBS 4.1 107 Beschränktes Wachstum
VBS 8.1 108
Martin Stern 118.1 109 Lineare Abnahme
VBS 4.1 110 )))
111 {{/aufgabe}}
Holger Engels 10.1 112
Stephanie Wietzorek 107.1 113 {{aufgabe id="Anwendung und Darstellungsformen" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
Holger Engels 112.1 114 Gegeben ist die folgende Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=4\cdot (\frac{1}{4})^x ;x{{/formula}} in Stunden.
Stephanie Wietzorek 107.1 115
Holger Engels 112.1 116 (%class="abc"%)
Stephanie Wietzorek 107.1 117 1. Beschreibe einen Anwendungskontext, welcher mit der Funktionsgleichung modelliert werden kann.
118 1. Beurteile, ob die Funktionsgleichung {{formula}}g(x)=4\cdot (\frac{1}{16})^{\frac{1}{2}\cdot x} ;x{{/formula}} ebenfalls diesen Prozess beschreibt.
119 1. Gib an, wie die Funktionsgleichung verändert werden muss, wenn {{formula}} x{{/formula}} in Minuten gemessen wird.
120 {{/aufgabe}}
121
Holger Engels 112.1 122 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="5" menge=""/}}
123
Holger Engels 23.1 124 == Exponentielles Wachstum ==
125
126 {{lernende}}
127 [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/DvsHTqFF]]
128 {{/lernende}}
129
akukin 33.1 130 {{aufgabe id="CO2-Konzentration" afb="II" kompetenzen="K1,K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2020/abitur/pools2020/mathematik/erhoeht/2020_M_erhoeht_B_Analysis_WTR_1.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 13.1 131
akukin 21.1 132 In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die CO,,2,,-Konzentration in der Luft gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Die Tabelle gibt für die Jahre 1960, 1985 und 2010 jeweils den jährlichen Durchschnittswert der Messwerte an.
akukin 13.1 133
134 (% style="width: min-content; white-space: nowrap" class="border" %)
Holger Engels 25.1 135 |=Jahr|1960|1985|2010
136 |=CO,,2,,-Konzentration| 317 ppm | 346 ppm | 390 ppm
akukin 18.1 137
akukin 32.2 138
Holger Engels 25.2 139 1. Die jährlichen Durchschnittswerte haben sich im Zeitraum von 1960 bis 1985 in guter Näherung exponentiell entwickelt. Ermittle die zugehörige jährliche Wachstumsrate in Prozent. //(zur Kontrolle: etwa 0,35%)//
Holger Engels 25.1 140 1. Berechne unter der Annahme, dass sich das exponentielle Wachstum nach 1985 in gleicher Weise fortgesetzt hat, den jährlichen Durchschnittswert für das Jahr 2010. Vergleiche diesen Wert mit dem zugehörigen Wert aus der Tabelle und formuliere das Ergebnis deines Vergleichs im Sachzusammenhang.
akukin 13.1 141 {{/aufgabe}}
akukin 22.1 142
Holger Engels 23.1 143 == Exponentieller Zerfall ==
144
akukin 33.2 145 {{aufgabe id="Radioaktiver Zerfall" afb="II" kompetenzen="K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2020/abitur/pools2020/mathematik/erhoeht/2020_M_erhoeht_B_Analysis_WTR_2.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 22.1 146 Am 26. April 1986 ereignete sich in der Ukraine ein Reaktorunfall, bei dem radioaktives Plutonium-241 freigesetzt wurde. Plutonium-241 zerfällt exponentiell, d. h. in jedem Jahr nimmt die Masse des vorhandenen Plutonium-241 um einen konstanten prozentualen Anteil ab.
Holger Engels 23.1 147
akukin 22.1 148 Im Folgenden wird der Zerfall einer bestimmten Menge Plutonium-241 betrachtet. Dieser Zerfall wird durch die Funktion {{formula}} p {{/formula}} mit {{formula}} p(x) = 200 \cdot e^{-0,0480x}{{/formula}} und {{formula}} x \in \mathbb{R}_0^{+}{{/formula}} beschrieben. Dabei ist {{formula}} x {{/formula}} die Zeit in Jahren, die seit dem Reaktorunfall vergangen ist, und {{formula}} p(x) {{/formula}} die Masse des verbliebenen Plutonium-241 in Milligramm.
Holger Engels 23.1 149
Holger Engels 24.1 150 1. Gib die Bedeutung des Faktors 200 im Sachzusammenhang an und berechne den prozentualen Anteil, um den die Masse des Plutonium-241 in jedem Jahr abnimmt.
151 1. Bestimme das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium-241 vorhanden sein wird.
akukin 22.1 152 {{/aufgabe}}
Holger Engels 10.1 153
Holger Engels 23.1 154 {{seitenreflexion/}}