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Lösung Verbreitung von Gerüchten

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/07/15 11:22

Gerüchte verbreiten sich wie Lauffeuer. Ungefähr 240 Schüler*innen besuchen die Eingangsklasse der Valckenburgschule. Vor der Mathearbeit bringen 2 Schüler*innen das Gerücht in Umlauf, dass in der Arbeit eine Aufgabe zum Thema Verbreitung von Gerüchten dran kommt. Jede*r Schüler*in informiert pro Stunde 2 weitere Schüler*innen.

  1. Wie viele Personen kennen das Gerücht nach 1 Stunde, 2 Stunden, …? Stelle eine Wertetabelle für die ersten 5 Stunden auf und bestimme den Verbreitungsfaktor!

    t012345
    f(t)261854162486

    Der Verbreitungsfaktor ist 3.

  2. Die Verbreitung soll zunächst mit einer Exponentialfunktion der Form f(t)=ae^{kt} modelliert werden. t ist die Zeit in Stunden, f(t) ist die Zahl der Schüler*innen, die das Gerücht zum Zeitpunkt t kennen. Ermittle a und k und gib den Funktionsterm an.
    Anfangswert a=2
    f(t)=2\cdot\textcolor{red}{3}^t = 2\cdot\textcolor{red}{e}^{\textcolor{red}{k}t}
    \Rightarrow 3=e^k \Rightarrow k= \ln{3}
    \Rightarrow f(t)=2\cdot e^{\ln{3}\cdot t}

  3. Erläutere, warum die Funktion f die Verbreitung des Gerüchts nur für die ersten Stunden gut beschreiben kann.
    In der Wertetabelle sieht man, dass die Funktion nach 5 Stunden schon mehr als doppelt so viele Schüler*innen liefert, als es in der Eingangsklasse gibt. Bei 240 Schüler*innen müsste Schluss sein. Bevor die 240 erreicht sind, dürfte sich das Gerücht wieder langsamer ausbreiten, denn es wird immer unwahrscheinlicher, dass eine Person auf eine andere trifft, die es nicht schon weiß.

    Bessere Ergebnisse für die Ausbreitung des Gerüchts liefert folgende Funktion:
    g(t)=\frac{240\cdot2}{2+(240-2)e^{k\cdot240\cdot t}

  4. Bestimme k für den Fall, dass das Gerücht nach 10 Stunden 90 % der Schüler*innen erreicht hat!
    g(10)=0,9\cdot240=216
    \Rightarrow 216=\frac{240\cdot2}{2+(240-2)e^{k\cdot240\cdot 10}
    \Rightarrow 216=\frac{480}{2+238e^{2400\cdot k} | \cdot(2+238e^{2400k}) :216
    \Rightarrow 2+238e^{2400\cdot k}=\frac{20}{9} | -2
    \Rightarrow 238e^{2400\cdot k}=\frac{2}{9} | :238
    \Rightarrow e^{2400\cdot k}=-\frac{1}{1071} | \ln
    \Rightarrow 2400\cdot k=\ln{\frac{1}{1071}} | \ln
    \Rightarrow 2400\cdot k\approx -6,976 | :2400
    \Rightarrow k\approx \frac{-6,976}{2400}
    \Rightarrow k\approx 0,0029
    g(t)=\frac{240\cdot2}{2+(240-2)e^{-0,6976 \cdot t}

  5. Zeichne das Schaubild mithilfe einer Wertetabelle in einem Intervall, das dir geeignet erscheint.
  6. Ermittle graphisch, wann die Hälfte der Schüler*innen informiert ist.