Änderungen von Dokument Lösung Gemeinsame Tangenten

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -3,10 +3,11 @@
3	3	Gesucht: Gerade, die sowohl die Normalparabel als auch die verschobene Parabel berührt.
4	4
5	5
6		-[[image:Gemeinsametangenten.PNG||width="320" style="float: right"]]
	6	+
7	7	//Durchführung: //
	8	+[[image:Gemeinsametangenten.PNG||width="320" style="float: right"]]
8	8	Grafisches Ausprobieren: Lineal so an die beiden Parabeln legen, dass sie beide berührt.
9		-Ablesen der charakteristischen Werte für die Geradengleichung: 𝑏 = −1, 𝑚 = 2
	10	+Ablesen der charakteristischen Werte für die Geradengleichung: {{formula}}b=-1{{/formula}} {{formula}}m=2{{/formula}}
10	10	Vermutung: Geradengleichung {{formula}}t(x)=2x-1{{/formula}}
11	11
12	12	Überprüfung der Vermutung durch Gleichsetzen mit beiden Parabelgleichungen:
...	...	@@ -14,7 +14,7 @@
14	14	{{formula}}
15	15	\begin{align}
16	16	& f(x) = t(x) \\
17		-&\Leftrightarrow x^2 = 2𝑥 − 1 \\
	18	+&\Leftrightarrow x^2 = 2x −1 \\
18	18	&\Leftrightarrow x^2-2x+1 = 0 \\
19	19	&\Leftrightarrow (x-1)^2=0
20	20	\end{align}
...	...	@@ -25,7 +25,7 @@
25	25	{{formula}}
26	26	\begin{align}
27	27	& g(x) = t(x) \\
28		-&\Leftrightarrow (x-2)^2+4 = 2𝑥 − 1 \\
	29	+&\Leftrightarrow (x-2)^2+4 = 2x − 1 \\
29	29	&\Leftrightarrow x^2-6x+9 = 0 \\
30	30	&\Leftrightarrow (x-3)^2=0
31	31	\end{align}
...	...	@@ -34,11 +34,10 @@
34	34	doppelte Lösung {{formula}} x = 3 {{/formula}}, also Tangente mit Berührpunkt 𝐵,,1,,(3|5).
35	35
36	36	//Reflexion: //
37		-Die gefundene Gerade ist die einzige gemeinsame Tangente. Legt man an die Normalparabel von
38		-links nach rechts das Lineal jeweils tangential an, so gibt es nur eine Position des Lineals, wo es auch
39		-tangential an der zweiten Parabel anliegt.
	38	+
	39	+Die gefundene Gerade ist die einzige gemeinsame Tangente. Legt man an die Normalparabel von links nach rechts das Lineal jeweils tangential an, so gibt es nur eine Position des Lineals, wo es auch tangential an der zweiten Parabel anliegt.
40	40	Die gefundene Lösung wurde grafisch ermittelt, hat also den Nachteil, dass bei anderer Lage der
41		-Parabeln die charakteristischen Werte (b und m) evtl. nicht genau abgelesen werden können. In
	41	+Parabeln die charakteristischen Werte (//b// und //m//) evtl. nicht genau abgelesen werden können. In
42	42	diesem Fall wäre eine rechnerische Lösung hilfreich.
43	43
44	44	Deshalb **zweiter Durchlauf ** des Problemlöseprozesses.
...	...	@@ -52,7 +52,7 @@
52	52	Vermutung:
53	53	Die Tangente hat dieselbe Steigung wie die Verbindungsgerade der beiden Scheitel S,,1,,(0|0) und S,,2,,(2|4).
54	54
55		-Überprüfung: {{formula}}m = \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{4-0}{2-0}{{/formula}} d.h. die Vermutung stimmt.
	55	+Überprüfung: {{formula}}m = \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{4-0}{2-0} = 2{{/formula}}, d.h. die Vermutung stimmt.
56	56	Die gesuchte Tangente ist also eine Gerade mit Steigung 2, die die Normalparabel berührt.
57	57	Gleichsetzen der Geradengleichung {{formula}}t(x)=2x+b {{/formula}} mit {{formula}}x^2{{/formula}} muss also eine doppelte Lösung ergeben, d.h. die zugehörige Diskriminante muss null sein:
58	58	{{formula}}
...	...	@@ -62,11 +62,11 @@
62	62	&\Leftrightarrow x^2-2x-b = 0
63	63	\end{align}
64	64	{{/formula}}
65		-Diskriminante 𝐷 = 1 + 𝑏 = 0 , d.h. 𝑏 = −1 und damit{{formula}} t(x) = 2x-1 {{/formula}} wie bei der grafischen Lösung.
	65	+Diskriminante //D// = 1 + b = 0 , d.h. //b// = −1 und damit{{formula}} t(x) = 2x-1 {{/formula}} wie bei der grafischen Lösung.
66	66
67	67
68	68	//Reflexion: //
69		-Beide charakteristischen Größen wurden rechnerisch aus den Parabelgleichungen ermittelt: Die Steigung //m// als Steigung der Geraden durch die beiden Scheitel und b über die Diskriminantenbedingung 𝐷 = 0. Dies lässt sich für jede beliebige Lage der beiden Scheitel durchführen.
	69	+Beide charakteristischen Größen wurden rechnerisch aus den Parabelgleichungen ermittelt: Die Steigung //m// als Steigung der Geraden durch die beiden Scheitel und //b// über die Diskriminantenbedingung //D// = 0. Dies lässt sich für jede beliebige Lage der beiden Scheitel durchführen.
70	70
71	71	//Evtl. noch ein Beispiel mit einer anderen Parabel durchrechnen und verifizieren.//
72	72