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Lösung Funktionsterm finden

Version 1.1 von Holger Engels am 2023/10/18 06:29
Information

Es gibt Aufgaben, bei denen es eine Größe gibt, die sich nicht verändert, also immer gleich bleibt. Eine solche Größe nennt man Invariante (Invarianz heißt Unveränderlichkeit). Mit Hilfe der Invariante kann man Aufgaben oft sehr schnell lösen. Hierzu muss die Invariante zuerst in der Aufgabe gefunden werden. Die Frage nach: „Was bleibt bei der Aufgabe immer gleich“, kann helfen die Invariante zu finden. Hat man die diese gefunden, so erkennt man oft das Prinzip zur Lösung der Aufgabe.
Das Invarianzprinzip ist auch aus dem Alltag bekannt. Viele beginnen zum Beispiel ein Puzzle, in dem sie zuerst den Rand des Puzzles machen. Bei allen Randteilen ist gleich, dass eine Seite ganz gerade ist. Hat man den Rand des Puzzles gemacht, so lässt sich des restliche Puzzle leichter fertigstellen

Von einer quadratischen Funktion der Form \(f(x)=a \cdot x^2\) kennt man nur die Funktionswerte der folgenden Wertetabelle. Die x-Werte sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Bestimme den Funktionsterm.

x  (x-1)    x    (x+1)
f(x)  18   8   2
\(a(x – 1)^2 = 18\)      \(ax^2 = 8\)      \(a(x + 1)^2 = 2\)
\(ax^2 – 2ax + a = 18\)            \(ax^2 + 2ax + a = 2\)
\(ax^2 = 8\) einsetzen in die beiden anderen Gleichungen liefert   
\[\begin{align} –2ax &+ a &= 10\\ 2ax &+ a &= – 6 \end{align}\]
                                            Addition der beiden Gleichungen liefert      \(2a = 4\)

Somit lautet der gesuchte Funktionsterm \(f(x) = 2x^2\)