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Änderungen von Dokument BPE 6.2 Änderungsraten bestimmen

Zuletzt geändert von Dirk Tebbe am 2026/01/15 09:46
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bearbeitet von holger
am 2022/11/13 17:10
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bearbeitet von Dirk Tebbe
am 2026/01/15 09:46
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Titel
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -Von der Sekante zu Tangente
1 +BPE 6.2 Änderungsraten bestimmen
Übergeordnete Seite
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -Main.WebHome
1 +Eingangsklasse.WebHome
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.holger
1 +XWiki.dirktebbe
Inhalt
... ... @@ -1,5 +1,129 @@
1 -{{box cssClass="floatinginfobox" title="**Contents**"}}
2 -{{toc start=2 depth=2 /}}
3 -{{/box}}
1 +{{seiteninhalt/}}
4 4  
5 -Die Schülerinnen und Schüler deuten die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekante und bestimmen diese algebraisch und grafisch aus einem Funktionsgraphen, einem Funktionsterm oder einer Wertetabelle. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen grafisch die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente.
3 +[[Kompetenzen.K1]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekante deuten
4 +[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate grafisch aus einem Funktionsgraphen bestimmen
5 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate algebraisch aus einem Funktionsterm bestimmen
6 +[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate aus einer Wertetabelle bestimmen
7 +[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente grafisch bestimmen
8 +
9 +{{aufgabe id="Änderungsrate Intervall" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="4"}}
10 +Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion //f// im Intervall {{formula}}\left[-3;2\right]{{/formula}}.
11 +(%class=abc%)
12 +1. {{formula}}f(x)=5x^2-3{{/formula}}
13 +1. {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}
14 +{{/aufgabe}}
15 +
16 +{{aufgabe id="Rechnerisch und graphisch" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
17 +Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=-0,5x^2\cdot (x-4){{/formula}} für {{formula}}x\in \mathbb{R}{{/formula}}. Ihr Schaubild ist {{formula}}K_f{{/formula}}.
18 +Bestimme die mittlere Änderungsrate für das Intervall //[1; 4]// rechnerisch und graphisch.
19 +{{/aufgabe}}
20 +
21 +{{aufgabe id="Aus Wertetabelle" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
22 +Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate für die Intervalle {{formula}}\left[0;2\right]{{/formula}} und {{formula}}\left[1;3\right]{{/formula}}.
23 +(%class=border%)
24 +|x|0|1|2|3
25 +|y|1|2|4|8
26 +{{/aufgabe}}
27 +
28 +{{aufgabe id="Funktionsterms aus Differenzenquotient" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
29 +Bestimme jeweils den Funktionsterm für die Funktion //g//, so dass gilt: {{formula}}\overline{m}=\frac{g(4)-g(2)}{4-2}=2{{/formula}}
30 +(%class=abc%)
31 +1. für {{formula}}g(x)=mx{{/formula}}
32 +1. für {{formula}}g(x)=ax^2{{/formula}}
33 +{{/aufgabe}}
34 +
35 +{{aufgabe id="Änderungsrate offenes Intervall" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
36 +Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}.
37 +Ermittle die Obergrenze für das Intervall {{formula}}\left[-1;b\right]{{/formula}}, sodass folgende Bedingung erfüllt ist: {{formula}}\overline{m}=\frac{f(b)-1}{b+1}=1,5{{/formula}}
38 +{{/aufgabe}}
39 +
40 +{{aufgabe id="Tidenhub" afb="I" kompetenzen="K4,K5,K6" zeit="7" quelle="Holger Engels, Martina Wagner" cc="by-sa"}}
41 +Das Schaubild zeigt den Pegelstand //f(t)// in //dm// an der Hafeneinfahrt einer Küstenstadt in Abhängigkeit von der Zeit //t// in //h//. Dabei ist //t=0// der Beobachtungsbeginn.
42 +[[image:Tidenhub.svg]]
43 +|=//t//|0|0,5|1|1,5|2|3|4|4,5|5|5,5|6
44 +|=//f(t)//|40|45,2|50|54,1|57,3|60|57,3|54,1|50|45,2|40
45 +
46 +(%class=abc%)
47 +1. Bestimme die mittlere Änderungsrate des Pegelstands in Zeitintervallen //[0,5; 1,5]// und //[4,5; 5,5]//.
48 +1. Gib die mittlere Änderungsrate des Pegelstands im Intervall //[1; 5]// an.
49 +1. Erläutere die Bedeutung der Steigung der Tangenten in //P//.
50 +{{/aufgabe}}
51 +
52 +{{aufgabe id="Bewegung" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" zeit="11" quelle="Holger Engels, Martina Wagner" cc="by-sa"}}
53 +Die Bewegung eines Körpers wird für die ersten 9 Sekunden ab Beobachtungsbeginn näherungsweise durch eine Potenzfunktion beschrieben.
54 +[[image:Bewegung.svg]]
55 +Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
56 +(%class=abc%)
57 +1. Es gibt kein Intervall, in dem die mittlere Geschwindigkeit null ist.
58 +1. Die mittlere Geschwindigkeit im Intervall //[4; 8]// beträgt //0,5 m/s//.
59 +1. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt //t=8// beträgt //4 m/s//.
60 +1. Die momentane Geschwindigkeit ist zu keinem Zeitpunkt größer als //1 m/s//.
61 +1. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt //t=0// ist //0 m/s//.
62 +{{/aufgabe}}
63 +
64 +{{aufgabe id="Aktienkurs" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K2, K6" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA" zeit="10"}}
65 +Die Abbildung zeigt den Tagesverlauf des Wirecardaktienkurs am 19.06.2020 von 8:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Der Aktienkurs ist an diesem Tag aufgrund des in einen Bilanzskandal verwickelten Dax-Konzerns um 45% gesunken.
66 +
67 +[[image:Aktiegez.png||width="700px"]]
68 +
69 +(%class=abc%)
70 +1. Beschreibe grob den Kursverlauf in den zwei Stunden.
71 +1. Berechne näherungsweise die durchschnittliche Änderungsrate zwischen 9:30 uhr und 9:45 Uhr und vergleiche diese mit der momentanen Änderungsrate um 9:45 Uhr.
72 +1. Welchen Wertverlust erlitt die Aktie innerhalb der zwei Stunden? Überprüfe den oben genannten prozentualen Wertverlust
73 +1. Zu welchem Zeitpunkt ist der Wertverlust am größten?
74 +{{/aufgabe}}
75 +
76 +{{aufgabe id="BMX" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="10" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 CAS" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" links="[[Interaktiv erkunden>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Differentialrechnung/Mittlere%20%C3%84nderungsrate#erkunden]]"}}
77 +BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine 3 m breite Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für {{formula}}x \in\left[ -8;0 \right]{{/formula}} modellhaft durch die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion f mit
78 +
79 +{{formula}}
80 +f(x)=-\frac{5}{256}x^3+\frac{3}{4}x+2
81 +{{/formula}}
82 +
83 +beschrieben werden. Die Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von //f//.
84 +Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt {{formula}}S( -8 | f ( -8 ) ){{/formula}} dargestellt, der Absprungpunkt durch {{formula}}A(0 | f ( 0 ) ){{/formula}}.
85 +
86 +[[Abbildung 1>>image:Schanze.png]]
87 +
88 +Veranschauliche in Abbildung 1 die mittlere Steigung der Schanze zwischen Startpunkt und Absprungpunkt. Bestimme diese Steigung.
89 +{{/aufgabe}}
90 +
91 +{{aufgabe id="Laufband" afb="II" kompetenzen="K3, K5" zeit="8" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 WTR" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
92 +Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen.
93 +Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für {{formula}}8,5\leq x \leq 17,5{{/formula}} modellhaft durch die Funktion //k// beschrieben werden mit:
94 +
95 +{{formula}}
96 +k(x) = \frac{1}{40}(x^{3}-30x^{2}+288x-815)
97 +{{/formula}}
98 +
99 +Dabei ist {{formula}}x{{/formula}} die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und //k// die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter {{formula}}\frac{mmol}{l}{{/formula}}. Berechne im Modell für den Geschwindigkeitsbereich von 12 bis 17,5 {{formula}}\frac{km}{h}{{/formula}} die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration.
100 +{{/aufgabe}}
101 +
102 +{{aufgabe id="Kondensator" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" zeit="8" quelle="Abi 2012 Anwendung, modifiziert" cc="by-sa"}}
103 +Ein Kondensator ist ein Bauteil, das elektrische Ladung speichert. Der Ladevorgang eines Kondensators wird im Labor untersucht. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt der Aufladevorgang. Die Stärke des elektrischen Stroms, der beim Aufladen fließt, wird gemessen. Die Messwerte sind in folgender Tabelle zusammengefasst:
104 +
105 +(% style="width:min-content" %)
106 +|=Zeit [s]|1,0|2,4|4,8|7,2|9,6
107 +|=(%style="white-space: preserve nowrap;"%)Stromstärke [mA]|9,0|6,0|3,0|1,5|0,75
108 +
109 +Ermittle einen Zeitraum beim Ladevorgang, in der die durchschnittliche Änderungsrate der Stromstärke halb so groß ist wie im Zeitraum von 2,4 s bis 4,8 s!
110 +{{/aufgabe}}
111 +
112 +{{aufgabe id="Von der Sekante zur Tangente" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA" zeit="15" interaktiv="https://www.geogebra.org/classic/tpgbrceg"}}
113 +Gegeben ist eine Normalparabel mit einem festen Punkt A(1|f(1)) und einem auf der Normalparabel beliebigem Punkt B(1+h|f(1+h)).
114 +
115 +[[image:Sekante2.png||width="500px"]]
116 +
117 +(%class=abc%)
118 +1. Bestimme die Koordinaten des Punktes B für h = 2 und berechne die Steigung der Sekanten zwischen A und B.
119 +1. Gib eine allgemeine Formel für die Steigung der Sekanten zwischen A und dem beliebigem Punkt B an.
120 +1. Beschreibe, wie sich die Lage von B verändert, wenn h immer kleiner wird (h geht gegen 0)
121 +1. Berechne die Sekantensteigung für h = 0,1.
122 +1. Die Tangente im Punkt A besitzt die Gleichung {{formula}}y = 2x - 1{{/formula}}. Stelle einen Zusammenhang zwischen der Steigung der Sekanten und der Tangentensteigung in Abhängigkeit von h auf.
123 +{{/aufgabe}}
124 +
125 +{{lehrende}}
126 +Eher zu viele Aufgaben. Es fehlt eine Aufgabe im AFB I zu "Ich kann die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente grafisch bestimmen"
127 +{{/lehrende}}
128 +
129 +{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="4" menge="3"/}}
Aktiegez.png
Author
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1 +XWiki.wies
Größe
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Inhalt
Bewegung.ggb
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.holgerengels
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Inhalt
Bewegung.svg
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.holgerengels
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Inhalt
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1 +<svg version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="518" height="365"><defs><clipPath id="fLplQtApeKlp"><path fill="none" stroke="none" d=" M 0 0 L 518 0 L 518 365 L 0 365 L 0 0 Z"/></clipPath></defs><g transform="scale(1,1)" clip-path="url(#fLplQtApeKlp)"><g><rect fill="rgb(255,255,255)" stroke="none" x="0" y="0" width="519" height="366" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(192,192,192)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 82.5 0.5 L 82.5 334.5 M 131.5 0.5 L 131.5 334.5 M 181.5 0.5 L 181.5 334.5 M 231.5 0.5 L 231.5 334.5 M 281.5 0.5 L 281.5 334.5 M 331.5 0.5 L 331.5 334.5 M 381.5 0.5 L 381.5 334.5 M 431.5 0.5 L 431.5 334.5 M 481.5 0.5 L 481.5 334.5" stroke-opacity="1" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10"/><path fill="none" stroke="rgb(192,192,192)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 42.5 0.5 L 42.5 334.5 M 52.5 0.5 L 52.5 334.5 M 62.5 0.5 L 62.5 334.5 M 72.5 0.5 L 72.5 334.5 M 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