BPE 6.2 Von der Sekante zur Tangente

1  Änderungsrate Intervall  (4 min) 𝕋  𝕃

Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion f im Intervall  \(\left[-3;2\right]\).

1. \(f(x)=5x^2-3\)
2. \(f(x)=0,25x^4-x^2-3\)
3. \(f(x)=2^x\)

2  Änderungsrate offenes Intervall  (10 min) 𝕃

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=x^2\)  im Intervall  \(\left[-1;b\right]\). Ermittle einen Punkt P(b|\(f(b)\)), der folgende Bedingung erfüllt:
\(m_s=\frac{f(b)-1}{b+1}=1,5\)

3  Funktionsterms aus Differenzenquotient  (15 min) 𝕃

Bestimme einen Funktionsterm g, so dass gilt: \(m_s=\frac{g(4)-g(2)}{4-2}=2\)

1. für \(g(x)=mx\)
2. für \(g(x)=ax^2\)

4  Die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekante berechnen  (20 min)

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=-0,5x^2\cdot (x-4)\)  für \(x\in \mathbb{R}\). Ihr Schaubild ist \(K_f\).
Gegeben sind zwei Kurvenpunkte A(1|f(1)) und B(4|f(4)).

1. Berechne die durchschnittliche Änderungsrate im Intervall \(\left[1;4\right]\).
2. Zeichne \(K_f\) für \(0\leq x\leq 4\). Zeichne die Sekante durch die Punkte A und B und bestimme die Steigung dieser Sekante.
3. Was stellst du fest?

5  Die durchschnittliche Änderungsrate aus dem Funktionsterm bestimmen  (15 min)

Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion f im angegebenen Intervall.

1. \(f(x)=\frac{1}{x}\) für \(\left[\frac{1}{2};4\right]\)
2. \(g(x)=e^{-x}-2,5\) für \(\left[-4;1\right]\)
3. \(f(x)=\frac{1}{5}x^2-5\) für \(\left[-5;5\right]\)

6  Die durchschnittliche Änderungsrate aus der Wertetabelle bestimmen  (5 min)

Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate für die Intervalle \(\left[0;2\right]\) und \(\left[1;3\right]\). Was stellst du fest?

7  Von der Sekante zur Tangente  (15 min) 𝕀  𝕃

Gegeben ist eine Normalparabel mit einem festen Punkt A(1|f(1)) und einem auf der Normalparabel beliebigem Punkt B(1+h|f(1+h)).

1. Bestimme die Koordinaten des Punktes B für h = 2 und berechne die Steigung der Sekante zwischen A und B.
2. Gib eine allgemeine Formel für die Steigung der Sekante zwischen A und dem beliebigem Punkt B an.
3. Beschreibe, wie sich die Lage von B verändert, wenn h immer kleiner wird (h geht gegen 0)
4. Berechne die Sekantensteigung für h = 0,1.
5. Die Tangente im Punkt A besitzt die Gleichung \(y = 2x - 1\). Stelle einen Zusammenhang zwischen der Steigung der Sekante und der Tangentensteigung in Abhängigkeit von h auf.