BPE 6.2 Von der Sekante zur Tangente

1  Änderungsrate Intervall  (4 min) 𝕋  𝕃

Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion f im Intervall  \(\left[-3;2\right]\).

1. \(f(x)=5x^2-3\)
2. \(f(x)=0,25x^4-x^2-3\)
3. \(f(x)=2^x\)

2  Änderungsrate offenes Intervall  (10 min) 𝕃

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=x^2\)  im Intervall  \(\left[-1;b\right]\). Ermittle einen Punkt P(b|\(f(b)\)), der folgende Bedingung erfüllt:
\(m_s=\frac{f(b)-1}{b+1}=1,5\)

3  Funktionsterms aus Differenzenquotient  (15 min) 𝕃

Bestimme einen Funktionsterm g, so dass gilt: \(m_s=\frac{g(4)-g(2)}{4-2}=2\)

1. für \(g(x)=mx\)
2. für \(g(x)=ax^2\)

4  Aus Steigung der Sekanten  (20 min)

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=-0,5x^2\cdot (x-4)\)  für \(x\in \mathbb{R}\). Ihr Schaubild ist \(K_f\).
Gegeben sind zwei Kurvenpunkte A(1|f(1)) und B(4|f(4)).

1. Berechne die durchschnittliche Änderungsrate im Intervall \(\left[1;4\right]\).
2. Zeichne \(K_f\) für \(0\leq x\leq 4\). Zeichne die Sekante durch die Punkte A und B und bestimme die Steigung dieser Sekante.
3. Was stellst du fest?

5  Aus Funktionsterm  (15 min)

Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion f im angegebenen Intervall.

1. \(f(x)=\frac{1}{x}\) für \(\left[\frac{1}{2};4\right]\)
2. \(g(x)=e^{-x}-2,5\) für \(\left[-4;1\right]\)
3. \(f(x)=\frac{1}{5}x^2-5\) für \(\left[-5;5\right]\)

6  Aus Wertetabelle  (5 min) 𝕃

Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate für die Intervalle \(\left[0;2\right]\) und \(\left[1;3\right]\). Was stellst du fest?

7  Von der Sekante zur Tangente  (15 min) 𝕀  𝕃

Gegeben ist eine Normalparabel mit einem festen Punkt A(1|f(1)) und einem auf der Normalparabel beliebigem Punkt B(1+h|f(1+h)).
 

  

1. Bestimme die Koordinaten des Punktes B für h = 2 und berechne die Steigung der Sekante zwischen A und B.
2. Gib eine allgemeine Formel für die Steigung der Sekante zwischen A und dem beliebigem Punkt B an.
3. Beschreibe, wie sich die Lage von B verändert, wenn h immer kleiner wird (h geht gegen 0)
4. Berechne die Sekantensteigung für h = 0,1.
5. Die Tangente im Punkt A besitzt die Gleichung \(y = 2x - 1\). Stelle einen Zusammenhang zwischen der Steigung der Sekante und der Tangentensteigung in Abhängigkeit von h auf.

8  Aktienkurs  (10 min) 𝕃

Die Abbildung zeigt den Tagesverlauf des Wirecardaktienkurs am 19.06.2020 von 8:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Der Aktienkurs ist an diesem Tag aufgrund des in einen Bilanzskandal verwickelten Dax-Konzerns um 45% gesunken.
 

  

1. Beschreibe grob den Kursverlauf in den zwei Stunden.
2. Berechne näherungsweise die durchschnittliche Änderungsrate zwischen 9:30 uhr und 9:45 Uhr und vergleiche diese mit der momentanen Änderungsrate um 9:45 Uhr.
3. Welchen Wertverlust erlitt die Aktie innerhalb der zwei Stunden? Überprüfe den oben genannten prozentualen Wertverlust
4. Zu welchem Zeitpunkt ist der Wertverlust am größten?

9  BMX  (10 min) 𝕃

BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine 3 m breite Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für \(x ∈ \in\left[ -8;0 \right]\) modellhaft durch die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion f mit

beschrieben werden. Die Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von f.
Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt \(S( -8 | f ( -8 ) )\)  dargestellt, der Absprungpunkt durch \(A(0 | f ( 0 ) )\).

Veranschauliche in Abbildung 1 die mittlere Steigung der Schanze zwischen Startpunkt und Absprungpunkt. Bestimme diese Steigung.

10  Laufband  (8 min) 𝕃

Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen.
Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für \(8,5\leq x \leq 17,5\) modellhaft durch die Funktion k beschrieben werden mit:

Dabei ist \(x\) die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und k die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter \(\frac{mmol}{l}\). Berechne im Modell für den Geschwindigkeitsbereich von 12 bis 17,5 \(\frac{km}{h}\) die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration.

11  Kondensator  (8 min) 𝕃

Ein Kondensator ist ein Bauteil, das elektrische Ladung speichert. Der Ladevorgang eines Kondensators wird im Labor untersucht. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt der Aufladevorgang. Die Stärke des elektrischen Stroms, der beim Aufladen fließt, wird gemessen. Die Messwerte sind in folgender Tabelle zusammengefasst:

Ermittle einen Zeitraum beim Ladevorgang, in der die durchschnittliche Änderungsrate der Stromstärke halb so groß ist wie im Zeitraum von 2,4 s bis 4,8 s!