BPE 6.3 Momentane Änderungsrate und graphisches Ableiten

1  Tangenten einzeichnen  (3 min) 𝕃

Zeichne jeweils die Tangenten an den Stellen \(x\in\{-1, 0, 1\}\) ein und bestimme deren Steigungen.

2  Rauf und runter  (3 min) 𝕃

Markiere jeweils auf der x-Achse Intervalle mit positiver Steigung blau und negativer Steigung rot. Markiere die Stellen mit Steigung Null.

3  Punkte mit gegebener Steigung finden  (5 min) 𝕋  𝕃

Es ist das Schaubild \(K_f\) einer Funktion \(f\) gegeben. Kennzeichne Punkte auf \(K_f\), für die gilt:

1. die Steigung der Tangente in diesem Punkt ist 1
2. die Steigung der Tangente in diesem Punkt ist 1,5
3. die Steigung der Tangente in diesem Punkt ist 0
   

4  Steigungsfunktion zeichnen  (5 min) 𝕋  𝕃

Skizziere das Schaubild der Steigungsfunktion.

5  Beschleunigung  (6 min) 𝕋  𝕃

Ein Auto soll auf freier Autobahn auf \(180\frac{km}{h}\) beschleunigen. Die Geschwindigkeit wird durch \(v(t)=180\cdot(1-e^{-0,1t})\) beschrieben.  \(v(t)\) beschreibt hierbei die momentante Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \(t\) in Sekunden. Der Verlauf der Geschwindigkeit ist dem Schaubild zu entnehmen.

1. Zu welchem Zeitpunkt wird die Höchstgeschwindigkeit von \(180\frac{km}{h}\) erreicht?
2. Wann ist die Beschleunigung am höchsten?
3. Skizziere ein Schaubild, aus welchem die Beschleunigung zum Zeitpunkt t hervorgeht. 

6  Zuordnung I  (4 min) 𝕀 

7  algebraischer Zusammenhang I  (8 min)

Das blaue Schaubild zeigt eine Funktion, das rote Schaubild zeigt ihre Steigungsfunktion.

1. Bestimme die Gleichungen der beiden Schaubilder.
2. Welchen Grad besitzen die beiden Funktionen?
3. Stelle eine Hypothese auf, welchen Grad die Steigungsfunktion einer Funktion 4. Grades hat und überlege dir, wie du die Hypothese überprüfen kannst.
    
   

8  algebraischer Zusammenhang II  (5 min)

Das blaue Schaubild zeigt eine Funktion, die roten Schaubild zeigen ihre möglichen Steigungsfunktionen.

 
 

1. Ordne dem blauen Schaubild seine Steigungsfunktion begründet zu. 
2. Welchen (möglichen) Grad besitzen die drei Funktionen?

9  Skizzieren anhand Eigenschaften  (10 min) 𝕃

1. Skizziere eine mögliche Parabel 2. Grades, welche eine waagrechte Tangente an der Stelle \(x = -2\) hat. Welche Gemeinsamkeiten haben alle Parabeln mit dieser Eigenschaft?
2. Skizziere das Schaubild einer möglichen Funktion, welches drei waagrechte Tangenten besitzt. Welchen minimalen Grad hat die Funktion?
3. Eine Funktion f hat nur positive Steigungen. Skizziere das Schaubild einer möglichen Ableitungsfunktion.
4. Es ist ein achsensymmetrisches Schaubild einer Funktion 4. Grades gesucht. Folgende Angaben sind bekannt, fülle die Lücken und skizziere das Schaubild der Funktion.

10  Aussagen Polynomfunktion  (3 min)

Prüfe die Aussagen! Welche sind wahr? Eine Polynomfunktion 3. Grades ..
☐ hat immer zwei Extrempunkte!
☐ kann auch mal nur einen Extrempunkt haben!
☐ kann auch mal keinen Extrempunkt haben!
☐ hat immer genau einen Wendepunkt!
☐ hat entweder einen Sattelpunkt oder zwei Extrempunkte!

11  Aussagen Schaubild  (5 min) 𝕃

Gegeben ist das Schaubild einer Funktion. Nimm Stellung zu folgenden Aussagen und begründe deine Antwort.

☐ die Tangentensteigungen sind negativ für \(x \in ]2;5[\)
☐ die Steigung der Tangente an der Stelle \(x = 1\) ist kleiner als \(-2\)
☐ an der Stelle \(x = 2\) liegt eine waagrechte Tangente
☐ die Funktionswerte sind positiv für \(-4 < x < 2\)
☐ die Tangentensteigungen haben einen Vorzeichenwechsel bei \(x=-4\) von ⊝ ⇾ ⊕

12  Aussagen Sattelstelle  (3 min)

Welche Aussagen treffen auf eine Sattelstelle zu?
☐ Eine Sattelstelle hat eine waagrechte Asymptote
☐ An einer Sattelstelle hat die Steigung ein Maximum oder ein Minimum
☐ An einer Sattelstelle gibt es immer auch einen Krümmungswechsel
☐ Eine Sattelstelle ist auch eine Wendestelle
☐ Eine Sattelstelle kann auch eine Maximalstelle sein