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Seiteneigenschaften

Inhalt

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46	46	c) Begründe, dass der Wert des Terms {{formula}}\vec{b} \circ \overline{OP}{{/formula}} nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.
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	48	+{{/aufgabe}}
	49	+
	50	+{{aufgabe id="Rasenfläche" afb="" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_16.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
	51	+Die Punkte {{formula}}A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1){{/formula}} und {{formula}}E(0|15|0){{/formula}} stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche
	52	+dar (vgl. Abbildung). Die Strecken {{formula}}\overline{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overline{DE}{{/formula}} sind parallel.
	53	+Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.
	54	+
	55	+a) Zeige, dass auch {{formula}}\overline{AE}{{/formula}} und {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} parallel sind und dass {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} und {{formula}}\overline{DE}{{/formula}} einen rechten Winkel einschließen.
	56	+
	57	+b) Ausgehend vom Ansatz {{formula}}|\overline{AE}| \cdot |\overline{DE}| + \frac{1}{2}\cdot (|\overline{AB}|-|\overline{DE}|)\cdot \bigl(|\overline{AE}|-|\overline{CD}|\bigl) {{/formula}} kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nenne diese Größe und erläutere den gegebenen Ansatz.
	58	+
	59	+Die Rasenfläche wird von einem Roboter gemäht, der die Form eines flachen Zylinders hat. Zur Beschreibung der Bewegung des Roboters wird der Mittelpunkt seiner kreisförmigen Unterseite betrachtet, die einen Radius von 20 cm hat. Es soll vereinfachend davon ausgegangen werden, dass dieser Mittelpunkt die Rasenfläche berührt.
	60	+
	61	+Die Position des Mittelpunkts wird zunächst durch {{formula}}P(3,6|8|0,3){{/formula}} dargestellt (vgl. Abbildung). Die anschließende Bewegung des Mittelpunkts verläuft im Modell entlang der Gerade g, die durch P verläuft und den Richtungsvektor {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}} hat. Dabei bewegt sich der Roboter auf den durch {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} dargestellten Rand der Rasenfläche zu.
	62	+
	63	+c) Berechne die Koordinaten des Punkts {{formula}}Q{{/formula}}, in dem {{formula}}g{{/formula}} die Strecke {{formula}}\overline{BC}{{/formula}}schneidet. //(zur Kontrolle: {{formula}}Q(15,6|4|1,3){{/formula}} )//
	64	+
	65	+d) Weise nach, dass der Winkel, unter dem sich der Roboter dem Rand der Rasenfläche nähert, etwa 41° groß ist.
	66	+
	67	+e) Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit {{formula}} S {{/formula}} bezeichnet. Berechne mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von {{formula}}S{{/formula}}.
	68	+
	69	+{{/aufgabe}}