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Änderungen von Dokument BPE 7 Einheitsübergreifend

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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
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1 -XWiki.akukin
1 +XWiki.martinawagner
Inhalt
... ... @@ -4,13 +4,13 @@
4 4  1. Für jede reelle Zahl {{formula}}a{{/formula}} ist ein Punkt {{formula}} D_a(a|2+a\sqrt{2}|5+\sqrt{2}) {{/formula}} gegeben. Bestimme alle Werte von {{formula}}a{{/formula}}, für die die Strecke von {{formula}} A{{/formula}} nach {{formula}}D_a{{/formula}} die Länge 2 hat.
5 5  {{/aufgabe}}
6 6  
7 -{{aufgabe id="Eckpunkte einer Pyramide" afb="" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
7 +{{aufgabe id="Eckpunkte einer Pyramide" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
8 8  In einem kartesischen Koordinatensystem ist die gerade Pyramide ABCDS gegeben. Die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche ist 5, die Höhe der Pyramide 7.
9 9  1. Gib mögliche Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide an.
10 10  1. Mindestens einer der Eckpunkte soll so verschoben werden, dass sich das Volumen der Pyramide vervierfacht. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. Gib für zwei dieser Möglichkeiten jeweils die Koordinaten der verschobenen Eckpunkte an und begründe deine Angabe.
11 11  {{/aufgabe}}
12 12  
13 -{{aufgabe id="Nachweis Quader" afb="" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/erhoeht/Beispielaufgaben.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
13 +{{aufgabe id="Nachweis Quader" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/erhoeht/Beispielaufgaben.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
14 14  [[image:aufgespannterQuader.PNG||width="150" style="float: right"]]
15 15  Die Vektoren {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}},{{formula}}\vec{b}= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}} und {{formula}}\vec{c_t}= \left(\begin{array}{c} 4t \\ 2t \\ -5t \end{array}\right){{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}{{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
16 16  1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
... ... @@ -18,7 +18,7 @@
18 18  {{/aufgabe}}
19 19  
20 20  
21 -{{aufgabe id="Berechnungen am Quader" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4,K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_4.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
21 +{{aufgabe id="Berechnungen am Quader" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4,K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_4.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
22 22  [[image:QuaderOrtsvektoren.jpg||width="230" style="float: right"]]Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}D{{/formula}}. Die Grundfläche {{formula}}OABC{{/formula}} des Quaders ist quadratisch.
23 23  1. Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor {{formula}}\frac{1}{2}\cdot (\vec{b}-\vec{a}){{/formula}} gehört.
24 24  
... ... @@ -29,7 +29,7 @@
29 29  1. Begründe, dass der Wert des Terms {{formula}}\vec{b} \circ \overline{OP}{{/formula}} nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.
30 30  {{/aufgabe}}
31 31  
32 -{{aufgabe id="Vektoren Sechseck" afb="" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben_1.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
32 +{{aufgabe id="Vektoren Sechseck" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben_1.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
33 33  
34 34  Im abgebildeten Sechseck {{formula}}ABCDEF{{/formula}} sind jeweils zwei Seiten parallel zueinander.
35 35  [[image:Sechseckvektoren.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
... ... @@ -39,10 +39,9 @@
39 39  b) Stelle den Vektor {{formula}}\overrightarrow{FB} {{/formula}} mithilfe der Vektoren {{formula}}\Vec{a}, \Vec{b}, \Vec{c}, \Vec{d}, \Vec{e} {{/formula}} und {{formula}}\Vec{f} {{/formula}} dar.
40 40  
41 41  c) Der Punkt {{formula}}A{{/formula}} hat in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten {{formula}}x_1 = 6, x_2 = 2 {{/formula}} und {{formula}}x_3=-4{{/formula}} Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{AB} {{/formula}} wird mit {{formula}}M {{/formula}} bezeichnet. Der Punkt {{formula}}K(2|0|8){{/formula}} ist der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AM} {{/formula}}. Ermittle die Koordinaten von {{formula}}B{{/formula}}.
42 -
43 43  {{/aufgabe}}
44 44  
45 -{{aufgabe id="Rasenfläche" afb="" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_16.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
44 +{{aufgabe id="Rasenfläche" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_16.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
46 46  [[image:Rasenfläche.JPG||width="300" style="float: right"]]
47 47  Die Punkte {{formula}}A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1){{/formula}} und {{formula}}E(0|15|0){{/formula}} stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken {{formula}}\overline{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overline{DE}{{/formula}} sind parallel.
48 48  Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.
... ... @@ -57,7 +57,7 @@
57 57  1. Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit {{formula}} S {{/formula}} bezeichnet. Berechne mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von {{formula}}S{{/formula}}.
58 58  {{/aufgabe}}
59 59  
60 -{{aufgabe id="Ähnlichkeit und Strahlensätze" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_A_6.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
59 +{{aufgabe id="Ähnlichkeit und Strahlensätze" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_A_6.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
61 61  [[image:QuadratABCD.PNG||width="220" style="float: right"]]
62 62  Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat {{formula}}ABCD{{/formula}}. Die Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die durch {{formula}}B{{/formula}} und den Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Seite {{formula}}\overline{AD}{{/formula}} verläuft, hat den Richtungsvektor {{formula}}\vec{v}{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}F{{/formula}} ist der Fußpunkt des Lots von {{formula}}A{{/formula}} auf {{formula}}g{{/formula}}.
63 63  
... ... @@ -65,26 +65,35 @@
65 65  1. Gib einen Term an, mit dem man die Koordinaten von {{formula}}B{{/formula}} bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}F{{/formula}} sowie die Komponenten von {{formula}} \vec{v}{{/formula}} bekannt wären.
66 66  {{/aufgabe}}
67 67  
68 -{{aufgabe id="Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_B_4.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
69 -[[image:PyramidenABCDk.png||width="200" style="float: right"]]
67 +{{aufgabe id="Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_B_4.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
68 +[[image:gleichschenkligesdreieckabb1.png||width="200" style="float: right"]]
70 70  Für {{formula}}k \in \mathbb{R} {{/formula}} mit {{formula}}0<k\leq 6{{/formula}} werden die Pyramiden {{formula}}ABCD_k {{/formula}} mit {{formula}}A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0){{/formula}} und {{formula}} D_k(0|0|k){{/formula}} betrachtet (vgl. Abbildung)
71 71  
72 72  1. Begründe, dass das Dreieck {{formula}}BCD_k{{/formula}} gleichschenklig ist.
73 73  1. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} ist {{formula}}M(2|2|0){{/formula}}.
74 -Begründe, dass {{formula}}|\overline{MD_k}|={{/formula}}{{formula}}\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right|{{/formula}} die Länge einer Höhe des Dreiecks {{formula}}BCD_k{{/formula}} ist. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}BCD_k{{/formula}}.
73 +Begründe, dass {{formula}}|\overline{MD_k}|={{/formula}}{{formula}}\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right|{{/formula}} die Länge einer Höhe des Dreiecks {{formula}}BCD_k{{/formula}} ist.
74 +Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}BCD_k{{/formula}}.
75 +
76 +
75 75  Für jeden Wert von k liegt die Seitenfläche {{formula}}BCD_k{{/formula}} in der Ebene {{formula}}L_k{{/formula}}.
76 76  
77 -(% start="3" %)
78 -1. Bestimme eine Gleichung von {{formula}}L_k{{/formula}} in Koordinatenform. //(zur Kontrolle: {{formula}}x_1+x_2+\frac{4}{k}\cdot x_3 =4{{/formula}})//
79 -1.Ermittle denjenigen Wert von {{formula}}k{{/formula}}, für den die Größe des Winkels, unter dem die x,,3,,-Achse die Ebene {{formula}}L_k{{/formula}} schneidet, 30° beträgt.
79 +3. Bestimme eine Gleichung von {{formula}}L_k{{/formula}} in Koordinatenform. //(zur Kontrolle: {{formula}}x_1+x_2+\frac{4}{k}\cdot x_3 =4{{/formula}})//
80 +
81 +4. Ermittle denjenigen Wert von {{formula}}k{{/formula}}, für den die Größe des Winkels, unter dem die x,,3,,-Achse die Ebene {{formula}}L_k{{/formula}} schneidet, 30° beträgt.
80 80  
83 +
84 +[[image:gleichschenkligesdreieckabb2.png||width="220" style="float: right"]]
81 81  Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}Q(1|1|3){{/formula}} sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.
82 -Für {{formula}}k=6{{/formula}} enthält die Seitenfläche {{formula}}BCD_k{{/formula}} den Quader in einem Vieleck.
86 +Für {{formula}}k=6{{/formula}} enthält die Seitenfläche {{formula}}BCD_k{{/formula}} der Pyramide den Eckpunkt {{formula}}Q{{/formula}} des Quaders. Für kleinere Werte von {{formula}}k{{/formula}} schneidet die Seitenfläche {{formula}}BCD_k{{/formula}} den Quader in einem Vieleck.
83 83  
84 -(% start="6" %)
85 -1. Für einen Wert von {{formula}}k{{/formula}} verläuft die Seitenfläche {{formula}}BCD_k{{/formula}} durch die Eckpunkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}R{{/formula}} des Quaders. Bestimme diesen Wert von {{formula}} k{{/formula}} //(zur Kontrolle: {{formula}}k=4{{/formula}})//
86 -1.Gib in Abhängigkeit von {{formula}}k{{/formula}} die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche {{formula}}BCD_k{{/formula}} den Quader schneidet.
87 -1. Nun wird die Pyramide {{formula}}ABCD_6{{/formula}} , d. h. diejenige für {{formula}}k=6{{/formula}}, betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der x,,1,,x,,2,,-Ebene, haben den Eckpunkt {{formula}}A{{/formula}} gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe {{formula}}h{{/formula}} der Quader durchläuft alle reellen Werte mit {{formula}}0<h<6{{/formula}}. Für jeden Wert von {{formula}}h{{/formula}}liegt der Eckpunkt {{formula}}Q_h{{/formula}} in der Seitenfläche {{formula}}BCD_6{{/formula}} der Pyramide. Ermittle die Koordinaten des Punkts {{formula}}Q_h{{/formula}}.
88 +5. Für einen Wert von {{formula}}k{{/formula}} verläuft die Seitenfläche {{formula}}BCD_k{{/formula}} durch die Eckpunkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}R{{/formula}} des Quaders. Bestimme diesen Wert von {{formula}} k{{/formula}} //(zur Kontrolle: {{formula}}k=4{{/formula}})//
89 +
90 +6.Gib in Abhängigkeit von {{formula}}k{{/formula}} die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche {{formula}}BCD_k{{/formula}} den Quader schneidet.
91 +
92 +
93 +
94 +
95 +7. Nun wird die Pyramide {{formula}}ABCD_6{{/formula}} , d. h. diejenige für {{formula}}k=6{{/formula}}, betrachtet.[[image:gleichschenkligesdreieckabb3.PNG||width="220" style="float: right"]] Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der x,,1,,x,,2,,-Ebene, haben den Eckpunkt {{formula}}A{{/formula}} gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe {{formula}}h{{/formula}} der Quader durchläuft alle reellen Werte mit {{formula}}0<h<6{{/formula}}. Für jeden Wert von {{formula}}h{{/formula}}liegt der Eckpunkt {{formula}}Q_h{{/formula}} in der Seitenfläche {{formula}}BCD_6{{/formula}} der Pyramide. Ermittle die Koordinaten des Punkts {{formula}}Q_h{{/formula}}.
88 88  {{/aufgabe}}
89 89  
90 90  {{seitenreflexion/}}
PyramidenABCDk.png
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