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Lösung Nachweis Quader

Version 25.2 von Holger Engels am 2024/01/28 18:46
  1. Es ist \(\vec{a} \circ \vec{b}= 2\cdot (-1)+1\cdot 2+ 2 \cdot 0 = 0 \),
    \(\vec{a} \circ \vec{c}_t= 2\cdot 4t+ 1 \cdot 2t+ 2 \cdot (-5t) = 0 \) und
    \(\vec{b} \circ \vec{c}_t=(-1) \cdot 4t+ 2 \cdot 2t + 0 \cdot (-5t) = 0 \).
    Also stehen die Vektoren \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}_t\) alle senkrecht zu einander und spannen somit einen Quader auf.
\[\begin{align} & & V = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot |\vec{c_t}| &= 15 \\ & \Leftrightarrow &\sqrt{2^2+1^1+2^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} +\sqrt{(4t)^2+(2t)^2+(-5t)^2} &= 15 \\ & \Leftrightarrow &3 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{45}|t| &= 15 \\ & \Leftrightarrow &45|t| &= 15 \\ & \Leftrightarrow &|t| &= \frac{15}{45} \\ & \Leftrightarrow &t &= \pm \frac{1}{3} \end{align}\]