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Lösung Schwerpunkt eines Dreiecks

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/14 12:53
  1. Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AB}\): \(M_{c}\left(\frac{-4+8}{2}\bigl|\frac{-2+4}{2}\right)=M_{c}\left(2|1\right)\)
     Mittelpunkt der Strecke \(\overline{BC}\): \(M_{a}\left(\frac{8+2}{2}\bigl|\frac{4+10}{2}\right)=M_{a}\left(5|7\right)\)
     Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AC}\): \(M_{b}\left(\frac{-4+2}{2}\bigl|\frac{-2+10}{2}\right)=M_{b}\left(-1|4\right)\)
    DreieckKoordinatensystem.png

  2. Um die Geradengleichung für \(g_1\) zu bestimmen, berechnen wir mit Hilfe eines Steigungsdreieckes über \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_2}\)die Steigung 1. Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt \((0|2)\), das heißt der y-Achsenabschnitt ist 2. Somit ergibt sich für die Geradengleichung
    \(g_1: y=x+2\)

    Die Gerade \(g_2\) ist eine Parallele zur x-Achse (d.h. Steigung \(m=0\)). Die Geradengleichung ist gegeben durch
    \(g_2: y=4\).

    Die Gerade \(g_3\) verläuft parallel zur y-Achse und schneidet die x-Achse an der Stelle \(x=2\). Ihre Gleichung ist somit gegeben durch
    \(g_3: x=2\).
    DreieckmitGeraden (1).png

  3. Gleichsetzen von \(g_1\) und \(g_2\) und Umstellen nach \(x\) ergibt
\[\begin{align*} &x+2=4 \quad \mid -2 \\ &x=2 \end{align*}\]

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist somit \((2|4)\) (der y-Wert ist 4, da alle Punkte auf der Geraden \(g_2\) den y-Wert 4 haben).
Da der Punkt auch auf der Geraden \(g_3\) liegt (weil \(x=2\) gilt), schneiden sich die drei Geraden in dem Punkt \((2|4)\).