Änderungen von Dokument Lösung Flächeninhalte Verhältnis

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.holgerengels
	1	+XWiki.akukin

Inhalt

...	...	@@ -1,44 +1,51 @@
1		-=== Erwartungshorizont ===
	1	+{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	2	+<p>
2	2	Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}}: {{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
3		-
	4	+</p>
4	4	Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}}:
	6	+<p>
5	5	{{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
6		-
	8	+</p>
7	7	Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte ist 1:3.
	10	+{{/detail}}
8	8
9		-=== Erläuterung der Lösung ===
	12	+
	13	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10	10	Da {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen:
11	11	[[image:TrapezErgänzung.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
12	12	Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann (wie bei jedem Dreieck) mit Hilfe der Formel
13	13	{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}
14		-
	18	+<br>
15	15	(die Hälfte der Länge der Grundseite {{formula}}g{{/formula}} mal der Länge der Höhe {{formula}}h{{/formula}}) berechnet werden:
16		-
	20	+<br><p>
17	17	{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
18		-
	22	+</p>
19	19	Für den Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} gilt (wie für jedes Trapez) die Formel
20		-
	24	+<br>
21	21	{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h{{/formula}}
22		-
	26	+<br><p>
23	23	(der Mittelwert aus den Längen der Grundseite und der ihr gegenüberliegenden „Deckseite“ mal der Höhe).
24		-
	28	+</p>
25	25	In unserem Fall:
	30	+<br><p>
26	26	{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
27		-
	32	+</p>
28	28	Nun wissen wir aber aus der Aufgabenstellung, dass gilt:
	34	+<br>
29	29	{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{OD}-\ \overrightarrow{OC}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{CD}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\overline{CD}\right|=2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}
30		-
	36	+<br>
31	31	Also können wir {{formula}}\left|\overline{CD}\right|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}:
32	32	{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
33		-
	39	+<br>
34	34	Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich hieraus:
35	35	{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
36		-
	42	+<br>
37	37	Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Dreiecksgleichung
38		-
	44	+<br>
39	39	{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
40		-
	46	+<br><p>
41	41	erkennt man, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der des Dreiecks.
42		-
	48	+</p>
43	43	Das gesuchte Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} zum Inhalt der Fläche des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} ist somit 1:3.
44	44
	51	+{{/detail}}