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Version 2.1 von akukin am 2024/10/18 18:57
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1 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2 Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}}: {{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
3 <br>
4 Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}}:
5 <br>
6 {{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
7 <br>
8 Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte ist 1:3.
9 <br>
10 {{/detail}}
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13 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
14 Da {{formula}}\vec{OD}=\vec{OC}-2\cdot\vec{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\vec{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen:
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16 Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann (wie bei jedem Dreieck) mit Hilfe der Formel
17 {{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}
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19 (die Hälfte der Länge der Grundseite g mal der Länge der Höhe h) berechnet werden:
20 <br>
21 {{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
22 Für den Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} gilt (wie für jedes Trapez) die Formel
23 <br>
24 {{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h{{/formula}}
25 <br>
26 (der Mittelwert aus den Längen der Grundseite und der ihr gegenüberliegenden „Deckseite“ mal der Höhe).
27 <br>
28 In unserem Fall:
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30 {{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\bar{AB}\right|+\left|\bar{CD}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
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32 Nun wissen wir aber aus der Aufgabenstellung, dass gilt:
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34 {{formula}}\vec{OD}=\vec{OC}-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \vec{OD}-\ \vec{OC}=-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \vec{CD}=-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\bar{CD}\right|=2\cdot\left|\bar{AB}\right|{{/formula}}
35 <br>
36 Also können wir {{formula}}\left|\bar{CD}\right|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left|\bar{AB}\right|{{/formula}}:
37 {{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\bar{AB}\right|+2\cdot\left|\bar{AB}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
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39 Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich hieraus:
40 {{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
41 <br>
42 Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Dreiecksgleichung
43 <br>
44 {{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
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46 erkennt man, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der des Dreiecks.
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48 Das gesuchte Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} zum Inhalt der Fläche des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} ist somit 1:3.
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50 {{/detail}}