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Version 3.2 von akukin am 2024/10/18 19:57
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
akukin 3.1 2 <p>
akukin 1.1 3 Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}}: {{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
akukin 3.1 4 </p>
akukin 1.1 5 Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}}:
akukin 3.1 6 <p>
akukin 1.1 7 {{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
akukin 3.1 8 </p>
akukin 1.1 9 Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte ist 1:3.
10 {{/detail}}
11
12
13 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 3.1 14 Da {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen:
15 [[image:TrapezErgänzung.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
akukin 1.1 16 Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann (wie bei jedem Dreieck) mit Hilfe der Formel
17 {{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}
18 <br>
akukin 3.2 19 (die Hälfte der Länge der Grundseite {{formula}}g{{/formula}} mal der Länge der Höhe {{formula}}h{{/formula}}) berechnet werden:
akukin 3.1 20 <br><p>
21 {{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
22 </p>
akukin 1.1 23 Für den Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} gilt (wie für jedes Trapez) die Formel
24 <br>
25 {{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h{{/formula}}
akukin 3.1 26 <br><p>
akukin 1.1 27 (der Mittelwert aus den Längen der Grundseite und der ihr gegenüberliegenden „Deckseite“ mal der Höhe).
akukin 3.1 28 </p>
akukin 1.1 29 In unserem Fall:
akukin 3.1 30 <br><p>
31 {{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
32 </p>
akukin 1.1 33 Nun wissen wir aber aus der Aufgabenstellung, dass gilt:
34 <br>
akukin 3.1 35 {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{OD}-\ \overrightarrow{OC}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{CD}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\overline{CD}\right|=2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}
akukin 1.1 36 <br>
akukin 3.1 37 Also können wir {{formula}}\left|\overline{CD}\right|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}:
38 {{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
akukin 1.1 39 <br>
40 Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich hieraus:
akukin 3.1 41 {{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
akukin 1.1 42 <br>
43 Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Dreiecksgleichung
44 <br>
akukin 3.1 45 {{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
46 <br><p>
akukin 1.1 47 erkennt man, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der des Dreiecks.
akukin 3.1 48 </p>
akukin 1.1 49 Das gesuchte Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} zum Inhalt der Fläche des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} ist somit 1:3.
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51 {{/detail}}