Wiki-Quellcode von Lösung Nachweis Dreieck
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | {{lehrende}} | ||
| 2 | 1. Es ist {{formula}}\overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 3 \end{array}\right){{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right){{/formula}}. | ||
| 3 | Da die beiden Vektoren linear unabhängig sind, d.h. {{formula}}\overrightarrow{AB} \neq \lambda \cdot \overrightarrow{AC} {{/formula}}, sind {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} Eckpunkte eines Dreiecks. | ||
| 4 | |||
| 5 | 1. Es ist {{formula}}\overrightarrow{AD_a}= \left(\begin{array}{c} a-1 \\ a\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{array}\right){{/formula}}. | ||
| 6 | Für die Länge der Strecke von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D_a{{/formula}} gilt | ||
| 7 | {{formula}} | ||
| 8 | |\overrightarrow{AD_a}|= \sqrt{(a-1)^2+(a\sqrt{2})^2+{sqrt{2}}^2}= \sqrt{3a^2-2a+3}. | ||
| 9 | {{/formula}} | ||
| 10 | |||
| 11 | Nun soll die Länge der Strecke 2 sein: | ||
| 12 | |||
| 13 | {{formula}} | ||
| 14 | \begin{align} | ||
| 15 | |\overrightarrow{AD_a}|=2 \\ | ||
| 16 | \Leftrightarrow \sqrt{3a^2-2a+3} = 2 \mid ()^2 \\ | ||
| 17 | \Leftrightarrow 3a^2-2a+3 = 4 \mid -4 \\ | ||
| 18 | \Leftrightarrow 3a^2-2a-1 = 0 | ||
| 19 | \end{align} | ||
| 20 | {{/formula}} | ||
| 21 | |||
| 22 | Mithilfe der Mitternachtsformel ergibt sich | ||
| 23 | |||
| 24 | {{formula}} | ||
| 25 | \begin{align} | ||
| 26 | a_{1,2} &= \frac{2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3 \cdot (-1)}}{2\cdot 3} \\ | ||
| 27 | &= \frac{2\pm 4}{6} \\ | ||
| 28 | \Rightarrow a_1=\frac{2+6}{6}=1; a_2 = \frac{2-4}{6}= -\frac{1}{3} | ||
| 29 | \end{align} | ||
| 30 | {{/formula}} | ||
| 31 | {{/lehrende}} |