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Zuletzt geändert von akukin am 2025/07/02 11:11
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1 __Seitenlängen:__
2 Seite {{formula}}\overline{AB}{{/formula}}:
3 Zunächst stellen wir den Vektor {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} auf: {{formula}}\overrightarrow{AB}=\left(\begin{matrix}7-(-1)\\1-(-1)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\\\end{matrix}\right){{/formula}}
4 Nun berechnen wir die Seitenlänge: {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}\approx 8,25{{/formula}}
5
6 Seite {{formula}}\overline{BC}{{/formula}}:
7 {{formula}}\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}1-7\\3-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\\\end{matrix}\right){{/formula}}
8 {{formula}}|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-6)^2+2^2}=\sqrt{40}\approx 6,32{{/formula}}
9
10 Seite {{formula}}\overline{AC}{{/formula}}:
11 {{formula}}\overrightarrow{AC}=\left(\begin{matrix}1-(-1)\\3-(-1)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right){{/formula}}
12 {{formula}}|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\approx 4,47{{/formula}}
13
14 __Innenwinkel:__
15 Zur Berechnung der Innenwinkel verwenden wir die Formel
16
17 {{formula}}
18 \begin{align}
19 &\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\\
20 \Leftrightarrow \ &\alpha=\cos^{-1}\left( \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} \right)
21 \end{align}
22 {{/formula}}
23
24 Winkel zwischen {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}:
25
26 {{formula}}\alpha_1=\cos^{-1}\left( \frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{\left(\begin{matrix}8\\2\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}2\\4\\\end{matrix}\right)}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{20}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{8\cdot 2+2\cdot 4}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{20}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{24}{\sqrt{1360}} \right)\approx 49,40^\circ{{/formula}}
27
28
29 Winkel zwischen {{formula}}\overrightarrow{BA}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}}:
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31 {{formula}}\alpha_2=\cos^{-1}\left( \frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{\left(\begin{matrix}-8\\-2\\\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}-6\\2\\\end{matrix}\right)}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{40}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{(-8)\cdot(-6)+(-2)\cdot2}{\sqrt{68}\cdot \sqrt{40}} \right)=\cos^{-1}\left( \frac{44}{\sqrt{2720}} \right)\approx 32,47^\circ{{/formula}}
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33 Da wir wissen, dass die Winkelsumme in einem Dreieck 180° beträgt, lässt sich der letzte Winkel (zwischen {{formula}}\overrightarrow{CA}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{CB}{{/formula}}) berechnen durch:
34 {{formula}}\alpha_3=180^\circ-\alpha_1-\alpha_2 \approx 180^\circ-49,40^\circ- 32,47^\circ=98,13°{{/formula}}
35
36 //Anmerkung: Je nachdem, wie man rundet, können die Winkel leicht abweichen.//