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Lösung Photoperiodismus

Zuletzt geändert von akukin am 2025/09/04 14:07

Wir betrachten die Tageslänge in Ulm:
TageslängeUlm.PNG
(Solar TOPO)

Gerundet beträgt die längste Tageslänge Mitte/Ende Juni ca. 16 Stunden und die kürzeste Tageslänge Mitte/Ende Dezember ca. 8 Stunden.

Als Ansatz zur Modellierung  mit einer trigonometrischen Funktion können wir den Cosinus verwenden (alternativ kann auch die Sinusfunktion gewählt werden).

Ansatz: \(f(t)=a\cdot \cos(b(t-c))+d\),
wobei \(f(t)\) die Tageslänge in Stunden ist und \(t\) der Monat.

Die Verschiebung \(d\) in y-Richtung ist \(12\).
Die Amplitude \(a\) ist \(4\).
Da sich der Zyklus alle 12 Monate wiederholt, ist die Periodenlänge \(p=12\). Der Parameter \(b\) berechnet sich somit durch \(b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\).
Die Funktion nimmt ihr Maximum etwa Mitte Juni an, das heißt die Funktion um 6 Monate in x-Richtung verschoben, also ist \(c=6\).

Insgesamt erhalten wir als Funktion zur Modellierung
\(f(t)=4\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right)+12\)

Nun wollen wir den Zeitpunkt bestimmen, an dem die Tageslänge 10 Stunden beträgt. Dazu setzen wir \(f(t)=10\) und lösen die Gleichung nach \(t\) auf:

\[\begin{align*} 10&=4\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right)+12 &&\mid -12\\ -2&=4\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right) &&\mid :4\\ -0,5&=\cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right) &&\mid \cos^{-1}\\ \cos^{-1}(-0,5)&=\frac{\pi}{6}(t-6) \\ \frac{2\pi}{3}&=\frac{\pi}{6}t -\pi &&\mid +\pi \\ \frac{5\pi}{3}&=\frac{\pi}{6}t &&\mid :\frac{\pi}{6} \\ 10&=t \end{align*}\]

Somit ist die Blütezeit bei \(t=10\) also Mitte Oktober.