Zum Inhalt springen

Wiki-Quellcode von Lösung Photoperiodismus

Zuletzt geändert von akukin am 2025/09/04 14:07
Zeige letzte Bearbeiter
1 Wir betrachten die Tageslänge in Ulm:
2 [[image:TageslängeUlm.PNG||width="520"]]
3 ([[Solar TOPO>>http://www.solartopo.com/tageslaenge-jahresverlauf.htm]])
4
5 Gerundet beträgt die längste Tageslänge Mitte/Ende Juni ca. 16 Stunden und die kürzeste Tageslänge Mitte/Ende Dezember ca. 8 Stunden.
6
7 Als Ansatz zur Modellierung mit einer trigonometrischen Funktion können wir den Cosinus verwenden (alternativ kann auch die Sinusfunktion gewählt werden).
8
9 Ansatz: {{formula}}f(t)=a\cdot \cos(b(t-c))+d{{/formula}},
10 wobei {{formula}}f(t){{/formula}} die Tageslänge in Stunden ist und {{formula}}t{{/formula}} der Monat.
11
12 Die Verschiebung {{formula}}d{{/formula}} in y-Richtung ist {{formula}}12{{/formula}}.
13 Die Amplitude {{formula}}a{{/formula}} ist {{formula}}4{{/formula}}.
14 Da sich der Zyklus alle 12 Monate wiederholt, ist die Periodenlänge {{formula}}p=12{{/formula}}. Der Parameter {{formula}}b{{/formula}} berechnet sich somit durch {{formula}}b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}{{/formula}}.
15 Die Funktion nimmt ihr Maximum etwa Mitte Juni an, das heißt die Funktion um 6 Monate in x-Richtung verschoben, also ist {{formula}}c=6{{/formula}}.
16
17 Insgesamt erhalten wir als Funktion zur Modellierung
18 {{formula}}f(t)=4\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right)+12{{/formula}}
19
20 Nun wollen wir den Zeitpunkt bestimmen, an dem die Tageslänge 10 Stunden beträgt. Dazu setzen wir {{formula}}f(t)=10{{/formula}} und lösen die Gleichung nach {{formula}}t{{/formula}} auf:
21
22 {{formula}}
23 \begin{align*}
24 10&=4\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right)+12 &&\mid -12\\
25 -2&=4\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right) &&\mid :4\\
26 -0,5&=\cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right) &&\mid \cos^{-1}\\
27 \cos^{-1}(-0,5)&=\frac{\pi}{6}(t-6) \\
28 \frac{2\pi}{3}&=\frac{\pi}{6}t -\pi &&\mid +\pi \\
29 \frac{5\pi}{3}&=\frac{\pi}{6}t &&\mid :\frac{\pi}{6} \\
30 10&=t
31 \end{align*}
32 {{/formula}}
33
34 Somit ist die Blütezeit bei {{formula}}t=10{{/formula}} also Mitte Oktober.
35
36