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Wiki-Quellcode von Lösung Differenzfunktion

Zuletzt geändert von Timm Sonnet am 2026/05/13 13:19
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1 //Es werden die (nicht konstanten) Funktionen {{formula}}f(x){{/formula}} und {{formula}}g(x){{/formula}} betrachtet. Außerdem die quadratische Differenzfunktion {{formula}}d(x)=f(x)-g(x){{/formula}}. Die Grafik zeigt das Schaubild {{formula}}K_d{{/formula}}. //
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4 // a) Nenne (nur) mithilfe der Grafik die Schnittstellen von {{formula}}K_f{{/formula}} und {{formula}}K_g{{/formula}} und begründe dein Vorgehen. //
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6 Die Schnittstellen lauten {{formula}}x_1 = 0{{/formula}} und {{formula}}x_2 = 2{{/formula}}. Diese ergeben sich direkt aus den Nullstellen von {{formula}}d(x){{/formula}}, da der Ansatz {{formula}}f(x)=g(x){{/formula}} sich durch Subtraktion von {{formula}}g(x){{/formula}} zu {{formula}}f(x)-g(x) = 0{{/formula}} umformen lässt. Da {{formula}}d(x)=f(x)-g(x){{/formula}} folgt {{formula}}d(x)=0{{/formula}}, was dem Nullstellenansatz von {{formula}}d(x){{/formula}} entspricht.
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9 // b) Bestimme die Funktionsgleichung der Differenzfunktion . Ermittle anschließend die noch fehlenden {{formula}}y{{/formula}}-Koordinaten von den Schnittpunkten von {{formula}}K_f{{/formula}} und {{formula}}K_g{{/formula}}.//
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11 Der Scheitel der Parabel liegt bei {{formula}}S(2|-2){{/formula}}. Die Scheitelpunktform lautet daher zunächst {{formula}}d(x)=a\cdot(x-2)^2-2{{/formula}}. Einsetzen des Punktes {{formula}}P(0|0){{/formula}} liefert:
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13 {{formula}}
14 \begin{aligned}
15 0 &= a \cdot (0-2)^2-2 \\
16 0 &= 4a - 2 \\
17 a &= \frac{1}{2} \end{aligned}{{/formula}}
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19 Es folgt damit: {{formula}} d(x)=\frac12 \cdot(x-2)^2-2{{/formula}} (Da {{formula}}g(x){{/formula}} nicht konstant ist, kann {{formula}}g(x)=2{{/formula}} nicht stimmen.)
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21 Auflösen der Klammern liefert:
22
23 {{formula}}
24 \begin{aligned}
25 d(x) &= \frac12 \cdot (x-2)^2-2 \\
26 &= \frac12 \cdot (x^2-4x+4) - 2 \\
27 &= \frac12 x^2 -2x +2 -2 \\
28 &= \frac12 x^2 - 2x
29 \end{aligned}{{/formula}}
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31 {{formula}}\Rightarrow f(x)=\frac12 x^2{{/formula}} und {{formula}}g(x)=2x{{/formula}}
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33 Zuletzt können mithilfe von {{formula}}g(x)=2x{{/formula}} (oder mithilfe von {{formula}}f(x){{/formula}}) und Einsetzen der Schnittstellen {{formula}}x_1{{/formula}} und {{formula}}x_2{{/formula}} die fehlenden {{formula}}y{{/formula}}-Koordinaten berechnet werden.
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35 {{formula}}
36 \begin{aligned}
37 g(0)=0 \\
38 g(4)=8
39 \end{aligned}
40 {{/formula}}
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42 {{formula}}\Rightarrow K_f{{/formula}} und {{formula}}K_g{{/formula}} schneiden sich in den Punkten {{formula}}P(0|0){{/formula}} und {{formula}}Q(4|8){{/formula}}.
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