BPE 11.3 Umkehrung

1  Definition der Umkehrbarkeit  (3 min) 𝕃

Nenne, welche Eigenschaft eine Funktion \(f\) besitzen muss, damit sie umkehrbar ist.

2  Umkehrbarkeit  (4 min) 𝕃

Nenne eine Funktion, die ..

1. umkehrbar ist,
2. nicht umkehrbar ist,
3. nicht im Ganzen, aber für die Intervalle \(]-\infty; -2]\) und \([-2; \infty[\) umkehrbar ist.

3  Eigenschaft  (4 min) 𝕃

Bei einer Funktion \(f\) gilt für jedes \(x_2 > x_1: f(x_2) > f(x_1)\)

1. Überlege, was du daraus für den Verlauf des Graphen schließen kannst
2. Erläutere, ob diese Eigenschaft auf die Funktion \(f(x)=x^3\) zutrifft.

4  Umkehrfunktion grafisch und rechnerisch bestimmen  (8 min) 𝕋  𝕃

1. Bestimme zum folgenden Funktionsgraphen die Umkehrfunktion zeichnerisch/grafisch. Erläutere dabei Deine Vorgehensweise.
   
2. Bei der dargestellten Funktion handelt es sich um eine quadratische Funktion mit Definitionsmenge \(]-\infty; 0]\). Bestimme einen passenden Funktionsterm und berechne daraus den zugehörigen Funktionsterm der Umkehrfunktion.

5  Mengen von Funktionen  (15 min)

Betrachtet werden folgende Teilmengen auf der Menge aller stetigen Funkionen:

1. Bestimme einen Funktionsterm einer Funktion, die
   1. in genau einer der Mengen
   2. in genau zwei der Mengen
   3. in allen drei Mengen
      liegt.
2. Ergänze die Menge "Potenzfunktion mit negativem Exponenten (mit Definitionsmenge \(\mathbb{R}\setminus\{0\} \) )" im Diagramm.
3. Erläutere, warum die Funktion \(f(x) = \sin(x), \,x \in \mathbb{R} \) und \(g(x) = \sin(x),\, x \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\) in verschiedenen Regionen im Diagramm liegen.