Lösung Umkehrfunktion grafisch und rechnerisch bestimmen
Version 26.1 von Martin Monath am 2026/05/12 15:56
- Funktionsterm aufstellen:
Ansatz: Scheitelform einer Parabel: \(f(x)=a\cdot (x-x_S)^2+y_S\).
Aus der Zeichnung: \(a=1,\ x_S=0,\ y_S=-2\)
\(\Rightarrow f(x)=x^2-2\).
Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion:
- Schritt 1: Auflösen der Funktionsgleichung nach \(x\):
\(\begin{aligned} y = x^2-2 \vert +2\\ \Rightarrow\ y+2 = x^2 \vert \sqrt{\hphantom{x}}\\ \Rightarrow\ \pm\sqrt{y+2} = x \vert \text{nur "-" zählt wegen Definitionsbereich}\\ \Rightarrow\ \sqrt{y+2} = x \end{aligned}\) - Schritt 2: Vertauschen von \(x\) und \(y\):
\(\begin{aligned} \Rightarrow & y =& \sqrt{x+2}\\ \Rightarrow & f^{-1}(x) =& \sqrt{x+2} \end{aligned}\)