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Lösung Umkehrfunktion grafisch und rechnerisch bestimmen

Version 6.1 von Martin Monath am 2026/05/12 14:46
  1. MatheArbeitsheft_11.3_1_LSG.png
  1. Funktionsterm aufstellen:
    Ansatz: Scheitelform einer Parabel: \(f(x)=a\cdot (x-x_S)^2+y_S\).
    Aus der Zeichnung: \(a=1,\ x_S=0,\ y_S=-2\)
    \(\Rightarrow f(x)=x^2-2\).
    Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion:
  • Schritt 1: Auflösen der Funktionsgleichung nach \(x\):
    \(\begin{aligned} & y & = & x^2-2 & \vert +2\\ \Rightarrow\ & y+2 & = & x^2 & \vert \sqrt{\hphantom{x}}\\ \Rightarrow\ & \pm\sqrt{y+2} & = & x & \vert \text{nur "-" zählt wegen Definitionsbereich}\\ \Rightarrow\ & \sqrt{y+2} & = & x & \end{aligned}\)
  • Schritt 2: Vertauschen von \(x\) und \(y\):
    \(\begin{aligned} \Rightarrow\ && y = && \sqrt{x+2}\\ \Rightarrow\ && f^{-1}(x) = && \sqrt{x+2}\)
    \end{aligned}