Änderungen von Dokument BPE 12 Einheitsübergreifend

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  • Koordinatensystem.PNG
  • LhospitalPlot.PNG

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,6 +1,6 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	3	+{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" kompetenzen="K2, K4, K5, K6" niveau="p" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
4	4	Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
5	5	Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
6	6
...	...	@@ -19,4 +19,110 @@
19	19	//Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
20	20	{{/aufgabe}}
21	21
	22	+{{aufgabe id="Grad, Skizze" afb="" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_8.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
	23	+Eine in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit erster Ableitungsfunktion {{formula}}f'{{/formula}} und zweiter Ableitungsfunktion {{formula}}f''{{/formula}} hat folgende Eigenschaften:
	24	+* {{formula}}f{{/formula}} hat bei {{formula}}x_1{{/formula}} eine Nullstelle.
	25	+* Es gilt {{formula}}f'(x_2)=0{{/formula}} und {{formula}}f''(x_2)\neq 0{{/formula}}.
	26	+* {{formula}}f'{{/formula}} hat ein Minimum an der Stelle {{formula}}x_3{{/formula}}.
	27	+
	28	+Die Abbildung zeigt die Positionen von {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} und {{formula}}x_3{{/formula}}:
	29	+[[image:Koordinatensystem.PNG||width="270" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	30	+1. Begründe, dass der Grad von {{formula}}f{{/formula}} mindestens 3 ist.
	31	+1. Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
	32	+{{/aufgabe}}
	33	+
	34	+{{aufgabe id="Kosinusfunktion, Periode, Steigung" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_12.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
	35	+Eine in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Kosinusfunktion {{formula}}f{{/formula}} hat die Periode {{formula}}p{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}\left(\frac{p}{2}\middle| p\right){{/formula}} ist ein Hochpunkt des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}, der Punkt {{formula}}\left(\frac{p}{4}\middle|\frac{p}{2}\right){{/formula}} ein Wendepunkt. Bestimme die Steigung des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}\frac{p}{4}{{/formula}}.
	36	+{{/aufgabe}}
	37	+
	38	+{{aufgabe id="Lokale und mittlere Änderungsrate" afb="" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_4.pdf ]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}}
	39	+Gegeben sind die Funktion {{formula}}f:\ x\mapsto\sqrt{x}{{/formula}} mit Definitionsmenge {{formula}}\mathbb{R}_0^+{{/formula}} und die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit der Gleichung {{formula}}y=\frac{1}{4}x{{/formula}}. Betrachtet wird das Intervall, das von den x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} und der Gerade {{formula}}g{{/formula}} begrenzt wird.
	40	+
	41	+In diesem Intervall gibt es eine Stelle, an der die lokale Änderungsrate von {{formula}}f{{/formula}} mit der mittleren Änderungsrate von {{formula}}f{{/formula}} in diesem Intervall übereinstimmt. Bestimme diese Stelle.
	42	+{{/aufgabe}}
	43	+
	44	+{{aufgabe id="Fichtenwachstum" afb="II" kompetenzen="K3,K4,K1" quelle="Holger Engels" zeit="12" cc="by-sa" tags=""}}
	45	+Das Wachstum einer Fichte soll mit einer Exponentialfunktion der Form {{formula}}f(t)=a\cdot e^{kt}{{/formula}} mit //t// in Jahren und //f(t)// in Metern modelliert werden. Zum Pflanzzeitpunkt hat die Fichten eine Größe von //60 cm//. Nach 2 Jahren ist sie bereits um //52 cm// gewachsen.
	46	+(%class=abc%)
	47	+1. Bestimme die Größe der Fichte nach 5 Jahren.
	48	+1. Berechne den jährlichen Zuwachs in Prozent.
	49	+1. Erläutere die Grenzen des Modells.
	50	+
	51	+Ein besseres Modell für das Wachstum ist die Funktion //h// mit {{formula}}h(t)=\frac{30}{29\cdot e^{-0,1758t} + 1}{{/formula}}.
	52	+(%class=abc%)
	53	+1. Berechne, wie groß die Fichte im ausgewachsenen Zustand sein wird.
	54	+1. Bestimme den mittleren Zuwachs in den Jahren 5 bis 10.
	55	+1. Berechne den Zeitpunkt, wann die Fichte am schnellsten wächst.
	56	+{{/aufgabe}}
	57	+
	58	+{{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	59	+Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
	60	+(% class="abc" %)
	61	+1. (((Ermittle rechnerisch (mittels Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen:
	62	+1. Summenfunktion {{formula}}f=f_1 + f_2{{/formula}}
	63	+1. Vielfachenfunktion {{formula}}f=a \cdot f_1{{/formula}}
	64	+1. Produktfunktion {{formula}}f=f_1\cdot f_2{{/formula}}.
	65	+1. Verkettung {{formula}}f=f_2\circ f_1{{/formula}}.
	66	+
	67	+)))
	68	+1. Ermittle rechnerisch (mittels Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von //f// die Hauptform der ersten Ableitung //f'// von //f//.
	69	+1. (((Zeige, dass sich //f'// folgendermaßen schreiben lässt:
	70	+1. Summenfunktion {{formula}}f'=f_1' + f_2'{{/formula}}
	71	+1. Vielfachenfunktion {{formula}}f'=a \cdot f_1'{{/formula}}
	72	+1. Produktfunktion {{formula}}f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'{{/formula}}
	73	+1. Verkettung {{formula}}f'=(f_2'\circ f_1) \cdot f_1'{{/formula}}.
	74	+
	75	+)))
	76	+1. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).
	77	+1. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.
	78	+
	79	+//Anmerkung//, insbesondere zu Teilaufgabe e). Jede differenzierbare Funktion ist //lokal// "linear", genauer: "linear approximierbar" (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// gilt die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}}. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche erwiesenermaßen die Ableitungsregeln erfüllen.
	80	+{{/aufgabe}}
	81	+
	82	+{{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
	83	+Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.
	84	+(% class="abc" %)
	85	+1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.
	86	+1. Untersuche die Abbildung {{formula}}q\mapsto f_q'(0){{/formula}} mit dem WTR. Kennst du für den Funktionsterm eine passende Bezeichnung?
	87	+//Ansatz//. Wähle für //q// Potenzen von //e// und approximiere den Differenzialquotienten durch Differenzenquotienten mit kleinen Nennern.
	88	+1. Zeige unter Verwendung der Kettenregel und folgender Anmerkung die Ableitungsregel für die Exponentialfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe. Dort wird der Funktionsterm {{formula}}e^{bx}{{/formula}} betrachtet, das ist für {{formula}}b=\ln(q){{/formula}} der Funktionsterm von {{formula}}f_q{{/formula}}, nämlich {{formula}}e^{bx}=e^{\ln(q)x}=q^x=f_q(x){{/formula}}.
	89	+
	90	+//Anmerkung//.(% class="alphastyle" %)
	91	+1. Es gilt folgende Gleichung: {{formula}}f_q'(0)=\ln(q){{/formula}}.
	92	+Das liefert einen alternativen Zugang zur natürlichen Logarithmusfunktion (als Alternative zu ihrer Erscheinungsweise als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion).
	93	+1. Es gilt die Äquivalenz folgender Gleichungen: {{formula}}\lim_{h\to 0} \frac{q^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow q=e{{/formula}}.
	94	+Das charakterisiert zunächst eine reelle Zahl, die wir durch "{{formula}}e{{/formula}}" bezeichnen" und das zeichnet weiter die natürliche Exponentialfunktion (zur Basis //e//) unter allen Exponentialfunktionen aus: {{formula}}f_e'(x)=f_e(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_e'=f_e{{/formula}}.
	95	+1. Es gelten allgemein folgende Gleichungen für die erste Ableitung: {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_q'=\ln(q)\cdot f_q{{/formula}}.
	96	+{{/aufgabe}}
	97	+
	98	+{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	99	+Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
	100	+(% class="abc" %)
	101	+1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.
	102	+1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=3,4{{/formula}} mittels Produktregel.
	103	+//Ansatz//. {{formula}}f(x)=x^3=x^2\cdot x{{/formula}} bzw. {{formula}}f(x)=x^4=x^3\cdot x{{/formula}}.
	104	+1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=5{{/formula}} mittels Produktregel auf mindestens drei Weisen.
	105	+//Ansatz//. {{formula}}f(x)=x^5=x^4\cdot x=x^3\cdot x^2= x^{12}\cdot x^{-7}{{/formula}} oder ähnliches.
	106	+1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=1/2{{/formula}}.
	107	+//Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=f(x)\cdot f(x)=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=2 f(x) f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.
	108	+1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=-n{{/formula}} mit {{formula}}n\in \mathbb{N}^*{{/formula}}.
	109	+//Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=x^n\cdot f(x)=1{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}0=h'(x)=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.
	110	+1. Zeige die Ableitungsregel für Potenzfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe, d.h., die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}}.
	111	+//Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} von //f// und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.
	112	+
	113	+//Anmerkung//. In der letzten Teilaufgabe leistet die Fortsetzung {{formula}}e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} der Funktionsgleichung von //f// (geradezu nebenbei) die (längst überfällige) Definition von Potenzen mit positiv reellen Exponenten.
	114	+{{/aufgabe}}
	115	+
	116	+{{aufgabe id="Winkelfunktionen" afb="III" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
	117	+Gegeben sind die Winkelfunktionen {{formula}}\sin, \cos{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}[-1;+1]{{/formula}}. Wir wollen ihre ersten Ableitungen {{formula}}\sin', \cos'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1{{/formula}} (trigonometrischer Pythagoras).
	118	+(% class="abc" %)
	119	+1. //Implizites Differenzieren//. Zeige, dass gilt: {{formula}}\sin(x)\sin'(x)=-\cos(x)\cos'(x){{/formula}}.
	120	+1. Begründe bzw. plausibilisiere mittels Teilaufgabe (a) und graphisches Ableiten, dass {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} und {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} gilt.
	121	+1. Zeige, dass aus {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} mittels Kettenregel {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} folgt.
	122	+//Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}\cos(x)=\sin(x-(-\pi/2)){{/formula}} von {{formula}}cos{{/formula}}.
	123	+1. Zeige die Ableitungsregeln für Winkelfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe.
	124	+
	125	+//Anmerkung//. Teilaufgabe (c) plausibilisiert die Behauptung in b).
	126	+{{/aufgabe}}
	127	+
22	22	{{seitenreflexion/}}

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Author

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	1	+XWiki.akukin

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	1	+XWiki.holgerengels

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